Решение задач по алгебре за 10 класс

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Найдите \(\cos x\), если \(\sin x = -0,8\) и \(180^\circ < x < 270^\circ\). Решение: Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \] \[ \cos x = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6 \] Так как угол \(x\) находится в III четверти (\(180^\circ < x < 270^\circ\)), косинус в этой четверти отрицательный. Ответ: \(-0,6\). Задача 2. Найдите значение выражения \(5 \text{tg } 17^\circ \cdot \text{tg } 107^\circ\). Решение: Используем формулу приведения \(\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg } \alpha\): \[ 5 \text{tg } 17^\circ \cdot \text{tg }(90^\circ + 17^\circ) = 5 \text{tg } 17^\circ \cdot (-\text{ctg } 17^\circ) \] Так как \(\text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1\): \[ -5 \cdot (\text{tg } 17^\circ \cdot \text{ctg } 17^\circ) = -5 \cdot 1 = -5 \] Ответ: \(-5\). Задача 3. Найдите значение выражения \(44\sqrt{3} \text{tg}(-480^\circ)\). Решение: Функция тангенс нечетная и имеет период \(180^\circ\): \[ \text{tg}(-480^\circ) = -\text{tg}(480^\circ) = -\text{tg}(480^\circ - 2 \cdot 180^\circ) = -\text{tg}(120^\circ) \] \[ -\text{tg}(120^\circ) = -\text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -(-\text{tg } 60^\circ) = \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \] Подставим в выражение: \[ 44\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 44 \cdot 3 = 132 \] Ответ: \(132\). Задача 4. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5}\) и \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Решение: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} = \pm 0,4 \] Так как угол в I четверти, синус положителен. Ответ: \(0,4\). Задача 5. Найдите значение выражения \(-18\sqrt{2} \sin(-135^\circ)\). Решение: \[ \sin(-135^\circ) = -\sin(135^\circ) = -\sin(180^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ -18\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{18 \cdot 2}{2} = 18 \] Ответ: \(18\). Задача 6. Найдите \(\text{tg } \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}\) и \(\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\). Решение: Найдем \(\sin \alpha\) (IV четверть, синус отрицательный): \[ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{10}{100}} = -\sqrt{\frac{90}{100}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \] \[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3\sqrt{10}/10}{\sqrt{10}/10} = -3 \] Ответ: \(-3\). Задача 7. Найдите \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\). Решение: Угол во II четверти, косинус отрицательный: \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{4 \cdot 6}{25}} = -\sqrt{1 - \frac{24}{25}} = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -0,2 \] Ответ: \(-0,2\). Задача 8. Найдите значение выражения \(59 \text{tg } 56^\circ \cdot \text{tg } 34^\circ\). Решение: Заметим, что \(34^\circ = 90^\circ - 56^\circ\). Тогда \(\text{tg } 34^\circ = \text{ctg } 56^\circ\). \[ 59 \text{tg } 56^\circ \cdot \text{ctg } 56^\circ = 59 \cdot 1 = 59 \] Ответ: \(59\). Задача 9. Найдите значение выражения \(37 \cos 540^\circ\). Решение: \[ \cos 540^\circ = \cos(540^\circ - 360^\circ) = \cos 180^\circ = -1 \] \[ 37 \cdot (-1) = -37 \] Ответ: \(-37\). Задача 10. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = 0,6\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\). Решение: Диапазон \(\pi < \alpha < 2\pi\) соответствует III и IV четвертям. В обеих этих четвертях синус отрицательный. \[ \sin \alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = -\sqrt{1 - 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8 \] Ответ: \(-0,8\).