Решение задач по геометрии с объяснениями

Ниже представлены решения задач со второй и третьей фотографий, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1 Дано: Четырехугольник вписан в окружность, два угла равны \(24^\circ\) и \(67^\circ\). Найти: Больший из оставшихся углов. Решение: 1) В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). 2) Пусть данные углы не лежат друг против друга. Тогда углы, лежащие против них: \[\angle 3 = 180^\circ - 24^\circ = 156^\circ\] \[\angle 4 = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ\] 3) Больший из оставшихся углов равен \(156^\circ\). Ответ: 156. Задание 2 Дано: Стороны треугольника \(a = 16\), \(b = 12\), угол между ними \(\alpha = 30^\circ\). Найти: Площадь \(S\). Решение: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 12 \cdot 0,5 = 48\] Ответ: 48. Задание 3 Дано: Трапеция равнобедренная, разность противолежащих углов \(50^\circ\). Найти: Больший угол. Решение: 1) В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны (\(\alpha\)), а при другом (\(\beta\)). Противолежащие углы — это \(\alpha\) и \(\beta\). 2) Сумма углов, прилежащих к боковой стороне: \(\alpha + \beta = 180^\circ\). 3) По условию: \(\beta - \alpha = 50^\circ\). 4) Сложим уравнения: \(2\beta = 230^\circ \Rightarrow \beta = 115^\circ\). Ответ: 115. Задание 5 Дано: Угол правильного \(n\)-угольника равен \(160^\circ\). Найти: Число вершин \(n\). Решение: Формула угла правильного \(n\)-угольника: \(\alpha = \frac{180(n-2)}{n}\). \[160n = 180n - 360\] \[20n = 360 \Rightarrow n = 18\] Ответ: 18. Задание 8 Дано: \(S_{ромба} = 867\), одна диагональ (\(d_1\)) в 6 раз больше другой (\(d_2\)). Найти: Меньшую диагональ \(d_2\). Решение: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2\] \[867 = \frac{1}{2} \cdot (6d_2) \cdot d_2 = 3d_2^2\] \[d_2^2 = \frac{867}{3} = 289 \Rightarrow d_2 = \sqrt{289} = 17\] Ответ: 17. Задание 9 Дано: Угол \(\alpha = 30^\circ\), радиус \(R = 43\). Найти: Хорду. Решение: Хорда, на которую опирается вписанный угол, равна: \[a = 2R \sin \alpha\] \[a = 2 \cdot 43 \cdot \sin 30^\circ = 86 \cdot 0,5 = 43\] Ответ: 43. Задание 15 Дано: Основания трапеции \(a = 6\), \(b = 62\). Найти: Отрезок, соединяющий середины диагоналей. Решение: Длина этого отрезка равна полуразности оснований: \[L = \frac{b - a}{2} = \frac{62 - 6}{2} = \frac{56}{2} = 28\] Ответ: 28. Задание 17 Дано: Ромб, сторона \(a = 11\sqrt{3}\), острый угол \(60^\circ\). Найти: Большую диагональ. Решение: Большая диагональ лежит против тупого угла (\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)). По теореме косинусов: \[d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 120^\circ = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-0,5) = 3a^2\] \[d = a\sqrt{3} = 11\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 11 \cdot 3 = 33\] Ответ: 33. Задание 18 Дано: \(S_{ABC} = 32\), \(DE\) — средняя линия. Найти: \(S_{ABED}\). Решение: 1) Треугольник \(CDE\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(k = 0,5\). 2) \(S_{CDE} = k^2 \cdot S_{ABC} = 0,25 \cdot 32 = 8\). 3) \(S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 32 - 8 = 24\). Ответ: 24. Задание 20 Дано: \(\angle ACB = 34^\circ\). Найти: Меньшую дугу \(AB\). Решение: Угол между касательными равен \(180^\circ\) минус величина дуги, заключенной между ними (центральный угол \(\angle AOB\)). \[\angle ACB = 180^\circ - \cup AB\] \[\cup AB = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ\] Ответ: 146.