Решение заданий 209-217 по математике

Ниже представлено подробное решение заданий с 209 по 217 для записи в тетрадь. При нахождении производных используются правила дифференцирования степенной функции: \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\). Задание 209. Найти производную функции \(y = \frac{3}{\sqrt{x^3}}\). Перепишем функцию в виде степени: \[y = 3 \cdot (x^3)^{-\frac{1}{2}} = 3x^{-\frac{3}{2}}\] Находим производную: \[y' = 3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{9}{2}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{9}{2\sqrt{x^5}}\] Задание 210. Найти производную функции \(y = \frac{x^2}{\sqrt[3]{x}}\). Упростим выражение: \[y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{2 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{3}}\] Находим производную: \[y' = \frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} = \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{3}\] Задание 211. Найти производную функции \(y = \frac{x^3}{\sqrt{x}}\). Упростим выражение: \[y = \frac{x^3}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{3 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}\] Находим производную: \[y' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5\sqrt{x^3}}{2}\] Задание 212. Найти производную функции \(y = \frac{2\sqrt{x}}{x^2}\). Упростим выражение: \[y = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2} = 2x^{\frac{1}{2}-2} = 2x^{-\frac{3}{2}}\] Находим производную: \[y' = 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot x^{-\frac{3}{2}-1} = -3x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{\sqrt{x^5}}\] Задание 213. Найти производную функции \(y = \frac{6\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}\). Упростим выражение: \[y = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} = 6x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}} = 6x^{-\frac{1}{6}}\] Находим производную: \[y' = 6 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot x^{-\frac{1}{6}-1} = -1 \cdot x^{-\frac{7}{6}} = -\frac{1}{\sqrt[6]{x^7}}\] Задание 214. Найти производную функции \(y = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt[3]{x}}\). Упростим выражение: \[y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^1 \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{4}{3}}} = x^{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}} = x^{-\frac{5}{6}}\] Находим производную: \[y' = -\frac{5}{6}x^{-\frac{5}{6}-1} = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}} = -\frac{5}{6\sqrt[6]{x^{11}}}\] Задание 215. Найти \(f'(1/2)\), если \(f(x) = 1/x^4\). 1) Находим производную: \[f(x) = x^{-4} \Rightarrow f'(x) = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}\] 2) Вычисляем значение в точке \(x = 1/2\): \[f'\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{(1/2)^5} = -\frac{4}{1/32} = -4 \cdot 32 = -128\] Задание 216. Найти \(f'(27)\), если \(f(x) = \sqrt[3]{x^4}\). 1) Находим производную: \[f(x) = x^{\frac{4}{3}} \Rightarrow f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} = \frac{4\sqrt[3]{x}}{3}\] 2) Вычисляем значение в точке \(x = 27\): \[f'(27) = \frac{4\sqrt[3]{27}}{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4\] Задание 217. Найти \(f'(-1)\), если \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 5\). 1) Находим производную: \[f'(x) = (4x^3)' - (2x^2)' + (x)' - (5)' = 12x^2 - 4x + 1\] 2) Вычисляем значение в точке \(x = -1\): \[f'(-1) = 12(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 12 \cdot 1 + 4 + 1 = 17\]