Решение задач Шураева Григория

Ниже представлены решения задач из карточки Шураева Григория. Задача 1. Дано: \(a = 72\), \(b = 54\) — катеты прямоугольного треугольника. Найти: \(h\) — высоту, проведенную к гипотенузе. Решение: 1) Найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{72^2 + 54^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90\] 2) Высота прямоугольного треугольника находится по формуле: \[h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{72 \cdot 54}{90} = \frac{72 \cdot 6}{10} = \frac{432}{10} = 43,2\] Ответ: 43,2. Задача 2. Дано: \(a = 14\), \(b = 48\) — катеты. Найти: \(c\) — гипотенузу. Решение: По теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50\] Ответ: 50. Задача 3. Дано: \(a = 36\) — катет, \(c = 60\) — гипотенуза. Найти: \(b\) — другой катет. Решение: По теореме Пифагора: \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{60^2 - 36^2} = \sqrt{3600 - 1296} = \sqrt{2304} = 48\] Ответ: 48. Задача 4. Дано: \(a = 94\) — сторона, \(h = 62\) — высота. Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к ней: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 94 \cdot 62 = 47 \cdot 62 = 2914\] Ответ: 2914. Задача 5. Дано: основание состоит из отрезков 135 и 21, высота \(h = 72\). Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: 1) Найдем длину всего основания: \[a = 135 + 21 = 156\] 2) Вычислим площадь: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 156 \cdot 72 = 156 \cdot 36 = 5616\] Ответ: 5616. Задача 6. Дано: \(KT = 17\), \(TM = 31\), \(S_{KAM} = 228\). Найти: \(S_{AMT}\). Решение: 1) Найдем длину стороны \(KM\): \[KM = KT + TM = 17 + 31 = 48\] 2) Треугольники \(KAM\) и \(AMT\) имеют общую высоту, проведенную из вершины \(A\). Площади таких треугольников относятся как их основания: \[\frac{S_{AMT}}{S_{KAM}} = \frac{TM}{KM}\] 3) Выразим искомую площадь: \[S_{AMT} = S_{KAM} \cdot \frac{TM}{KM} = 228 \cdot \frac{31}{48} = \frac{228}{48} \cdot 31 = 4,75 \cdot 31 = 147,25\] Ответ: 147,25.