Решение задачи 2.1.2: Резонанс напряжений в RLC цепи

Задача 2.1.2 Дано: \(C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\) \(L = 0,1 \text{ Гн}\) \(R = 10 \text{ Ом}\) \(U = 100 \text{ В}\) Резонанс напряжений. Найти: \(i(t)\) — выражение для мгновенного значения тока. Решение: 1. При резонансе напряжений в последовательной цепи индуктивное сопротивление равно емкостному: \[X_L = X_C\] Следовательно, полное сопротивление цепи \(Z\) становится чисто активным и минимальным: \[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R = 10 \text{ Ом}\] 2. Найдем резонансную циклическую частоту \(\omega_0\): \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] Подставим значения: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0,1 \cdot 10 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \text{ рад/с}\] 3. Найдем действующее значение тока в цепи при резонансе: \[I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{100}{10} = 10 \text{ А}\] 4. Найдем амплитудное значение тока \(I_m\): \[I_m = I \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \approx 14,1 \text{ А}\] 5. При резонансе напряжений фазовый сдвиг между током и напряжением равен нулю (\(\phi = 0\)). Если принять начальную фазу напряжения равной нулю, то выражение для мгновенного значения тока будет иметь вид: \[i(t) = I_m \sin(\omega_0 t)\] Подставляя найденные значения: \[i(t) = 14,1 \sin(1000 t) \text{ А}\] Ответ: \(i(t) = 14,1 \sin(1000 t) \text{ А}\).