Задача №2: Доказательство подобия треугольников AMN и ABC

Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \) \( AM = BM \) \( AN = NC \) Доказать: \( \triangle AMN \sim \triangle ABC \) Решение: 1. Рассмотрим стороны треугольников \( AMN \) и \( ABC \). По условию точка \( M \) является серединой стороны \( AB \), а точка \( N \) — серединой стороны \( AC \). 2. Из условия \( AM = BM \) следует, что: \[ AM = \frac{1}{2} AB \text{ или } \frac{AM}{AB} = \frac{1}{2} \] 3. Из условия \( AN = NC \) следует, что: \[ AN = \frac{1}{2} AC \text{ или } \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \] 4. Заметим, что у треугольников \( AMN \) и \( ABC \) угол \( A \) является общим: \[ \angle A - \text{общий} \] 5. Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. В нашем случае: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \] \[ \angle A - \text{общий} \] Следовательно, \( \triangle AMN \sim \triangle ABC \) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \). Ответ: Треугольники подобны по второму признаку подобия с коэффициентом \( k = 0,5 \).