Решение 10 Варианта: Графики АЧХ и ФЧХ

Для решения задачи №1 (вариант 10) рассмотрим представленную схему. Это последовательная \(RL\)-цепь. В задачах на коэффициенты передачи выходным напряжением \( \dot{U}_{вых} \) обычно считается напряжение на одном из элементов. Судя по схеме (четырехполюсник), вход — это зажимы слева, а выход — зажимы справа. Если выход снимается со всей цепи \(R\) и \(L\), коэффициент передачи равен 1. Однако стандартно в таких задачах для \(RL\)-цепей выход снимается либо с резистора (ФВЧ), либо с катушки (ФНЧ). Примем классический случай для такой топологии: выходное напряжение снимается с катушки индуктивности \(L\). 1. Комплексный коэффициент передачи по напряжению: По правилу делителя напряжения: \[ \underline{K}(j\omega) = \frac{\dot{U}_{вых}}{\dot{U}_{вх}} = \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \] Разделим числитель и знаменатель на \(R\): \[ \underline{K}(j\omega) = \frac{j\omega \frac{L}{R}}{1 + j\omega \frac{L}{R}} \] Обозначим постоянную времени цепи \( \tau = \frac{L}{R} \). Тогда: \[ \underline{K}(j\omega) = \frac{j\omega\tau}{1 + j\omega\tau} \] 2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ): АЧХ — это модуль комплексного коэффициента передачи: \[ A(\omega) = |\underline{K}(j\omega)| = \frac{\omega\tau}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}} \] При \( \omega = 0 \), \( A(0) = 0 \). При \( \omega \to \infty \), \( A(\infty) = 1 \). Это характеристика фильтра верхних частот (ФВЧ). 3. Фазо-частотная характеристика (ФЧХ): ФЧХ — это аргумент комплексного коэффициента передачи: \[ \varphi(\omega) = \arg(j\omega\tau) - \arg(1 + j\omega\tau) = 90^\circ - \text{arctg}(\omega\tau) \] При \( \omega = 0 \), \( \varphi = 90^\circ \). При \( \omega \to \infty \), \( \varphi = 0^\circ \). 4. Граничная частота и полоса пропускания: Граничная частота \( \omega_{гр} \) определяется по уровню \( \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \) от максимума: \[ \frac{\omega_{гр}\tau}{\sqrt{1 + (\omega_{гр}\tau)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \omega_{гр}\tau = 1 \implies \omega_{гр} = \frac{1}{\tau} = \frac{R}{L} \] Полоса пропускания для ФВЧ: от \( \omega_{гр} \) до \( \infty \). \[ \Delta\omega = [\frac{R}{L}; \infty) \] 5. Объяснение графиков для тетради: АЧХ (График зависимости \( A \) от \( \omega \)): Рисуется кривая, выходящая из начала координат (0,0). Она плавно растет и асимптотически приближается к единице при больших частотах. Точка перегиба соответствует граничной частоте, где значение равно 0.707. Это показывает, что цепь "плохо" пропускает низкие частоты и "хорошо" — высокие. ФЧХ (График зависимости \( \varphi \) от \( \omega \)): Рисуется кривая, начинающаяся в точке \( 90^\circ \) (или \( \pi/2 \)) на оси ординат. С ростом частоты кривая спадает, стремясь к нулю. На граничной частоте \( \omega_{гр} \) фазовый сдвиг составляет точно \( 45^\circ \). Это означает, что на низких частотах ток и напряжение имеют максимальный фазовый сдвиг из-за индуктивности, который исчезает с ростом частоты.