Решение системы уравнений способом подстановки: Задание 391(а)

Решение систем уравнений. Задание 391 (а). Решить способом подстановки: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 12 \\ xy = -6 \end{cases} \] 1. Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = -\frac{6}{x} \] 2. Подставим полученное выражение в первое уравнение: \[ x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12 \] \[ x^2 + \frac{36}{x^2} = 12 \] 3. Умножим всё уравнение на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)): \[ x^4 + 36 = 12x^2 \] \[ x^4 - 12x^2 + 36 = 0 \] 4. Заметим, что это квадрат разности: \[ (x^2 - 6)^2 = 0 \] \[ x^2 - 6 = 0 \] \[ x^2 = 6 \] \[ x_1 = \sqrt{6}, \quad x_2 = -\sqrt{6} \] 5. Найдем соответствующие значения \( y \): Если \( x_1 = \sqrt{6} \), то \( y_1 = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6} \) Если \( x_2 = -\sqrt{6} \), то \( y_2 = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \sqrt{6} \) Ответ: \( (\sqrt{6}; -\sqrt{6}), (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \). --- Задание (б). Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} \] 1. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе: \[ x + 2(x^2 + 1) = 5 \] \[ x + 2x^2 + 2 = 5 \] \[ 2x^2 + x - 3 = 0 \] 2. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \] \[ \sqrt{D} = 5 \] \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5 \] 3. Найдем значения \( y \): Если \( x_1 = 1 \), то \( y_1 = 1^2 + 1 = 2 \) Если \( x_2 = -1,5 \), то \( y_2 = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25 \) Ответ: \( (1; 2), (-1,5; 3,25) \).