Решение квадратных уравнений: примеры с объяснением

№ 1. Решите неполные квадратные уравнения: а) \( 6x^2 - 24 = 0 \) Перенесем свободный член в правую часть: \( 6x^2 = 24 \) Разделим обе части на 6: \( x^2 = 4 \) \( x = \pm \sqrt{4} \) \( x_1 = 2, x_2 = -2 \) Ответ: \( -2; 2 \). б) \( 13x^2 - 26x = 0 \) Вынесем общий множитель \( 13x \) за скобки: \( 13x(x - 2) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( 13x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \) \( x_1 = 0 \) \( x_2 = 2 \) Ответ: \( 0; 2 \). № 2. Решите квадратные уравнения: а) \( x^2 + 7x - 18 = 0 \) Решим через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \) \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) \( x_2 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) Ответ: \( -9; 2 \). б) \( (6x + 2)^2 = (6x - 1)(5x + 1) \) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов: \( 36x^2 + 24x + 4 = 30x^2 + 6x - 5x - 1 \) \( 36x^2 + 24x + 4 = 30x^2 + x - 1 \) Перенесем все слагаемые в левую часть: \( 36x^2 - 30x^2 + 24x - x + 4 + 1 = 0 \) \( 6x^2 + 23x + 5 = 0 \) Находим дискриминант: \( D = 23^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 529 - 120 = 409 \) \( x = \frac{-23 \pm \sqrt{409}}{12} \) Ответ: \( \frac{-23 \pm \sqrt{409}}{12} \). № 3. Решите дробно-рациональные уравнения: а) \( \frac{x^2 - 3}{x - 1} = \frac{2x}{x - 1} \) Условие (ОДЗ): \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Так как знаменатели равны, приравниваем числители: \( x^2 - 3 = 2x \) \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) \( x_1 \cdot x_2 = -3 \) Получаем корни: \( x_1 = 3, x_2 = -1 \). Оба корня удовлетворяют условию \( x \neq 1 \). Ответ: \( -1; 3 \). б) \( x - \frac{6}{x} = -1 \) Условие (ОДЗ): \( x \neq 0 \). Умножим все части уравнения на \( x \): \( x^2 - 6 = -x \) \( x^2 + x - 6 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \) \( x_1 \cdot x_2 = -6 \) Получаем корни: \( x_1 = -3, x_2 = 2 \). Оба корня удовлетворяют условию \( x \neq 0 \). Ответ: \( -3; 2 \).