Решение задач на нахождение длины вектора

Вариант 1 Задача 1. Найдите длину вектора \(\vec{a}(7; -24)\). Решение: Длина вектора \(\vec{a}(x; y)\) вычисляется по формуле: \[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\] Подставим координаты: \[|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\] Ответ: 25. Задача 2. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\). Решение: Определим координаты векторов по клеткам (считая от начала к концу): \(\vec{a} = (4 - 2; 6 - 8) = (2; -2)\) \(\vec{b} = (4 - 2; 2 - 6) = (2; -4)\) \(\vec{c} = (1 - (-1); 4 - 2) = (2; 2)\) Найдем координаты результирующего вектора \(\vec{d} = 7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\): \[x_d = 7 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 14 - 6 + 8 = 16\] \[y_d = 7 \cdot (-2) - 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 2 = -14 + 12 + 8 = 6\] \(\vec{d}(16; 6)\) Найдем длину вектора \(\vec{d}\): \[|\vec{d}| = \sqrt{16^2 + 6^2} = \sqrt{256 + 36} = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}\] Ответ: \(2\sqrt{73}\). Задача 3. Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны \(5\sqrt{3}\) и \(7\), а угол между ними равен \(30^\circ\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Решение: Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\] Подставим значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \cos 30^\circ = 35\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35 \cdot 3}{2} = \frac{105}{2} = 52,5\] Ответ: 52,5. Задача 4. Найдите значение выражения \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}\). Решение: Определим координаты векторов по рисунку: \(\vec{a} = (8 - 6; 6 - 3) = (2; 3)\) \(\vec{b} = (8 - 4; 1 - 4) = (4; -3)\) \(\vec{c} = (4 - 1; 2 - 3) = (3; -1)\) Найдем координаты вектора \(\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}\): \[\vec{m} = (2 - 4; 3 - (-3)) = (-2; 6)\] Найдем скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{c}\): \[\vec{m} \cdot \vec{c} = x_m \cdot x_c + y_m \cdot y_c = (-2) \cdot 3 + 6 \cdot (-1) = -6 - 6 = -12\] Ответ: -12. Задача 5. Найдите \(\cos \alpha\), где \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Решение: Определим координаты векторов: \(\vec{a} = (4 - 1; 3 - 4) = (3; -1)\) \(\vec{b} = (5 - 3; 6 - 1) = (2; 5)\) Формула косинуса угла между векторами: \[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] 1) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 5 = 6 - 5 = 1\) 2) \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) 3) \(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\) \[\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}\] Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{290}}\).