Решение показательных уравнений: Практическое занятие №6, Вариант 1

Практическое занятие №6 по теме: Показательная функция. Решение Варианта 1. 1) \( 8^{x-14} = 1 \) Так как \( 1 = 8^0 \), то: \( 8^{x-14} = 8^0 \) \( x - 14 = 0 \) \( x = 14 \) Ответ: 14. 2) \( 0,5^{2x-13} = 1 \) Так как \( 1 = 0,5^0 \), то: \( 2x - 13 = 0 \) \( 2x = 13 \) \( x = 6,5 \) Ответ: 6,5. 3) \( (1\frac{2}{3})^{2x} = (1\frac{2}{3})^{-1} \) Основания одинаковы, приравниваем показатели: \( 2x = -1 \) \( x = -0,5 \) Ответ: -0,5. 4) \( 216^x = \frac{1}{6} \) Представим \( 216 \) как \( 6^3 \), а \( \frac{1}{6} \) как \( 6^{-1} \): \( (6^3)^x = 6^{-1} \) \( 6^{3x} = 6^{-1} \) \( 3x = -1 \) \( x = -\frac{1}{3} \) Ответ: \( -\frac{1}{3} \). 5) \( \frac{1}{2} \cdot 32^x = 16 \) Умножим обе части на 2: \( 32^x = 32 \) \( 32^x = 32^1 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. 6) \( 8^{2x+1} \cdot 8^{x-12} = 1 \) При умножении показатели складываются: \( 8^{(2x+1) + (x-12)} = 8^0 \) \( 3x - 11 = 0 \) \( 3x = 11 \) \( x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \) Ответ: \( 3\frac{2}{3} \). 7) \( 14^x = 9^x \) Разделим обе части на \( 9^x \) (так как \( 9^x \neq 0 \)): \( (\frac{14}{9})^x = 1 \) \( (\frac{14}{9})^x = (\frac{14}{9})^0 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. 8) \( 2^{x+3} \cdot 2^{x-2} \cdot 2^x = 54 \) Сложим показатели: \( 2^{(x+3) + (x-2) + x} = 54 \) \( 2^{3x+1} = 54 \) Разделим на 2: \( 2 \cdot 2^{3x} = 54 \) \( 2^{3x} = 27 \) \( (2^x)^3 = 3^3 \) \( 2^x = 3 \) \( x = \log_2 3 \) Ответ: \( \log_2 3 \). 9) \( 64^x - 5 \cdot 8^x - 24 = 0 \) Пусть \( 8^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 64^x = t^2 \). \( t^2 - 5t - 24 = 0 \) По теореме Виета: \( t_1 = 8 \), \( t_2 = -3 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Вернемся к замене: \( 8^x = 8 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Ответы на контрольные вопросы: 1. Показательными называются уравнения, в которых переменная (неизвестное) содержится в показателе степени. 2. Основные способы решения: - Приведение обеих частей уравнения к общему основанию. - Вынесение общего множителя за скобки. - Метод введения новой переменной (подстановка). - Логарифмирование обеих частей уравнения. 3. Алгоритм решения: - Свести левую и правую части уравнения к одному и тому же основанию. - Приравнять показатели степеней. - Решить полученное линейное или квадратное уравнение. - Записать ответ.