Решение задачи по статистике (Вариант 1)

Решение задачи по статистике (Вариант 1) Даны значения выборок: \(x: 1, 3, 4, 6, 8\) \(y: 2, 5, 4, 7, 9\) Объем выборки \(n = 5\). 1. Предварительные расчеты. Для составления уравнений регрессии и нахождения коэффициента корреляции составим расчетную таблицу: \(x_i\): 1, 3, 4, 6, 8. Сумма \(\sum x_i = 22\) \(y_i\): 2, 5, 4, 7, 9. Сумма \(\sum y_i = 27\) \(x_i^2\): 1, 9, 16, 36, 64. Сумма \(\sum x_i^2 = 126\) \(y_i^2\): 4, 25, 16, 49, 81. Сумма \(\sum y_i^2 = 175\) \(x_i \cdot y_i\): 2, 15, 16, 42, 72. Сумма \(\sum x_i y_i = 147\) Вычислим средние значения: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{22}{5} = 4,4 \] \[ \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{27}{5} = 5,4 \] \[ \overline{x \cdot y} = \frac{\sum x_i y_i}{n} = \frac{147}{5} = 29,4 \] \[ \overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2}{n} = \frac{126}{5} = 25,2 \] \[ \overline{y^2} = \frac{\sum y_i^2}{n} = \frac{175}{5} = 35,0 \] Вычислим дисперсии и средние квадратические отклонения: \[ \sigma_x^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 25,2 - (4,4)^2 = 25,2 - 19,36 = 5,84 \] \[ \sigma_x = \sqrt{5,84} \approx 2,417 \] \[ \sigma_y^2 = \overline{y^2} - (\bar{y})^2 = 35,0 - (5,4)^2 = 35,0 - 29,16 = 5,84 \] \[ \sigma_y = \sqrt{5,84} \approx 2,417 \] 2. Выборочный коэффициент линейной корреляции. \[ r_{xy} = \frac{\overline{xy} - \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sigma_x \cdot \sigma_y} = \frac{29,4 - 4,4 \cdot 5,4}{5,84} = \frac{29,4 - 23,76}{5,84} = \frac{5,64}{5,84} \approx 0,966 \] Связь между признаками прямая и сильная. 3. Уравнение прямой регрессии Y по X. Уравнение имеет вид: \(y - \bar{y} = \rho_{yx} (x - \bar{x})\), где \(\rho_{yx} = r_{xy} \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}\). Так как \(\sigma_x = \sigma_y\), то \(\rho_{yx} = r_{xy} = \frac{5,64}{5,84} \approx 0,966\). \[ y - 5,4 = 0,966(x - 4,4) \] \[ y = 0,966x - 4,25 + 5,4 \] \[ y = 0,966x + 1,15 \] 4. Уравнение прямой регрессии X по Y. Уравнение имеет вид: \(x - \bar{x} = \rho_{xy} (y - \bar{y})\), где \(\rho_{xy} = r_{xy} \cdot \frac{\sigma_x}{\sigma_y}\). Так как \(\sigma_x = \sigma_y\), то \(\rho_{xy} = r_{xy} \approx 0,966\). \[ x - 4,4 = 0,966(y - 5,4) \] \[ x = 0,966y - 5,216 + 4,4 \] \[ x = 0,966y - 0,816 \] Ответ: коэффициент корреляции \(r \approx 0,966\); уравнение Y по X: \(y = 0,966x + 1,15\); уравнение X по Y: \(x = 0,966y - 0,816\).