Решение задачи: Найти угол MEK

Задача Дано: \( \triangle ABC \), \( M \in AB \), \( K \in BC \), \( E \in AC \). \( AM = AE \), \( CK = EC \). \( \angle ABC = \beta \). Найти: \( \angle MEK \). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Пусть \( \angle BAC = \alpha \), а \( \angle BCA = \gamma \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), поэтому: \[ \alpha + \gamma + \beta = 180^\circ \implies \alpha + \gamma = 180^\circ - \beta \] 2. Рассмотрим треугольник \( \triangle AME \). По условию \( AM = AE \), значит, треугольник равнобедренный с основанием \( ME \). Углы при основании равны: \[ \angle AEM = \angle AME = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \] 3. Рассмотрим треугольник \( \triangle CKE \). По условию \( CK = EC \), значит, треугольник равнобедренный с основанием \( KE \). Углы при основании равны: \[ \angle CEK = \angle CKE = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \] 4. Точки \( A, E, C \) лежат на одной прямой, поэтому угол \( \angle AEC \) — развернутый и равен \( 180^\circ \). Искомый угол \( \angle MEK \) можно найти как: \[ \angle MEK = 180^\circ - (\angle AEM + \angle CEK) \] 5. Подставим выражения для углов, полученные в пунктах 2 и 3: \[ \angle MEK = 180^\circ - \left( 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \right) \] \[ \angle MEK = 180^\circ - \left( 180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2} \right) \] \[ \angle MEK = \frac{\alpha + \gamma}{2} \] 6. Используя результат из пункта 1 (\( \alpha + \gamma = 180^\circ - \beta \)), получаем: \[ \angle MEK = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \] Ответ: \( 90^\circ - \frac{\beta}{2} \).