Решение: Решить

Задача №219 Дано: \( \triangle ABC \), \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \). Точка \( O \) — середина \( AD \). Прямая \( m \perp AD \), \( O \in m \). \( m \cap AC = M \). Доказать: \( MD \parallel AB \). Доказательство: 1. Рассмотрим \( \triangle AMD \). По условию прямая \( MO \) проходит через середину стороны \( AD \) (точка \( O \)) и перпендикулярна ей (\( MO \perp AD \)). Следовательно, \( MO \) является серединным перпендикуляром к отрезку \( AD \). 2. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Значит, \( MA = MD \). 3. Так как \( MA = MD \), то \( \triangle AMD \) — равнобедренный с основанием \( AD \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: \[ \angle MAD = \angle MDA \] 4. По условию \( AD \) — биссектриса \( \angle BAC \), значит: \[ \angle MAD = \angle DAB \] 5. Из равенств \( \angle MAD = \angle MDA \) и \( \angle MAD = \angle DAB \) следует, что: \[ \angle MDA = \angle DAB \] 6. Рассмотрим прямые \( MD \) и \( AB \) и секущую \( AD \). Углы \( \angle MDA \) и \( \angle DAB \) являются накрест лежащими при этих прямых и секущей. Так как накрест лежащие углы равны (\( \angle MDA = \angle DAB \)), то по признаку параллельности прямых: \[ MD \parallel AB \] Что и требовалось доказать.