Решение уравнения из контрольной работы К-3 (Вариант 1)

Контрольная работа К-3 (Вариант 1) Задание 1. Решите уравнение: а) \(x^3 - 81x = 0\) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 81) = 0\) Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов: \(x(x - 9)(x + 9) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x_1 = 0\) \(x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 9\) \(x + 9 = 0 \Rightarrow x_3 = -9\) Ответ: -9; 0; 9. б) \(\frac{x^2 + 1}{5} - \frac{x + 1}{4} = 1\) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 20: \(4(x^2 + 1) - 5(x + 1) = 20\) \(4x^2 + 4 - 5x - 5 = 20\) \(4x^2 - 5x - 1 - 20 = 0\) \(4x^2 - 5x - 21 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21) = 25 + 336 = 361 = 19^2\) Находим корни: \(x_1 = \frac{5 + 19}{8} = \frac{24}{8} = 3\) \(x_2 = \frac{5 - 19}{8} = \frac{-14}{8} = -1,75\) Ответ: -1,75; 3. Задание 2. Решите биквадратное уравнение: \(x^4 - 19x^2 + 48 = 0\) Пусть \(x^2 = t\), где \(t \ge 0\). \(t^2 - 19t + 48 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 + t_2 = 19\) \(t_1 \cdot t_2 = 48\) Корни: \(t_1 = 16\), \(t_2 = 3\). Вернемся к замене: 1) \(x^2 = 16 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 4\) 2) \(x^2 = 3 \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{3}\) Ответ: \(-4; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 4\). Задание 3. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{a^3 - 2a^2 - 9a + 18}{a^2 - 4}\) равно нулю? Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) Разложим числитель на множители методом группировки: \(a^2(a - 2) - 9(a - 2) = 0\) \((a - 2)(a^2 - 9) = 0\) \((a - 2)(a - 3)(a + 3) = 0\) Корни числителя: \(a = 2\), \(a = 3\), \(a = -3\). 2) Проверим условие \(a^2 - 4 \ne 0\): \((a - 2)(a + 2) \ne 0\) \(a \ne 2\) и \(a \ne -2\). Значение \(a = 2\) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль. Ответ: при \(a = 3\) и \(a = -3\). Задание 4. Решите уравнение: а) \(\frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y - 3}{(4y - 1)(4y + 1)} = \frac{3}{4y - 1}\) ОДЗ: \(y \ne 0\), \(y \ne \pm 0,25\). Общий знаменатель: \(y(4y - 1)(4y + 1)\). \((3y + 2)(4y - 1) + y(y - 3) = 3y(4y + 1)\) \(12y^2 - 3y + 8y - 2 + y^2 - 3y = 12y^2 + 3y\) \(13y^2 + 2y - 2 = 12y^2 + 3y\) \(y^2 - y - 2 = 0\) По теореме Виета: \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1\). Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: -1; 2. б) \((x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 9) = 171\) Пусть \(x^2 + 3x = t\). \((t + 1)(t - 9) = 171\) \(t^2 - 9t + t - 9 - 171 = 0\) \(t^2 - 8t - 180 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 18\), \(t_2 = -10\). 1) \(x^2 + 3x = 18 \Rightarrow x^2 + 3x - 18 = 0 \Rightarrow x_1 = -6, x_2 = 3\). 2) \(x^2 + 3x = -10 \Rightarrow x^2 + 3x + 10 = 0\). \(D = 9 - 40 = -31 < 0\) (корней нет). Ответ: -6; 3. Задание 5. Найдите координаты точек пересечения графиков: Приравняем функции: \(\frac{x^3}{x - 2} = x^2 - 3x + 1\) ОДЗ: \(x \ne 2\). \(x^3 = (x - 2)(x^2 - 3x + 1)\) \(x^3 = x^3 - 3x^2 + x - 2x^2 + 6x - 2\) \(0 = -5x^2 + 7x - 2\) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\) \(D = 49 - 40 = 9 = 3^2\) \(x_1 = \frac{7 + 3}{10} = 1\); \(x_2 = \frac{7 - 3}{10} = 0,4\). Найдем \(y\): Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 - 3(1) + 1 = -1\). Точка (1; -1). Если \(x = 0,4\), то \(y = (0,4)^2 - 3(0,4) + 1 = 0,16 - 1,2 + 1 = -0,04\). Точка (0,4; -0,04). Ответ: (1; -1), (0,4; -0,04).