Решение задач 543, 547, 551, 557

Решение систем уравнений для тетради: № 543. \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ x^2 - y^2 = 40 \end{cases} \] Применим формулу разности квадратов во втором уравнении: \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ (x - y)(x + y) = 40 \end{cases} \] Подставим значение \( x + y = 10 \) из первого уравнения во второе: \[ (x - y) \cdot 10 = 40 \] \[ x - y = 4 \] Теперь решим простую систему методом сложения: \[ \begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2x = 14 \Rightarrow x = 7 \] Подставим \( x = 7 \) в первое уравнение: \[ 7 + y = 10 \Rightarrow y = 3 \] Ответ: (7; 3). № 547. \[ \begin{cases} x^2 - 3y = 22 \\ x + y = 2 \end{cases} \] Выразим \( y \) из второго уравнения: \[ y = 2 - x \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x^2 - 3(2 - x) = 22 \] \[ x^2 - 6 + 3x - 22 = 0 \] \[ x^2 + 3x - 28 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = 4; \quad x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = -7 \] Найдем соответствующие значения \( y \): Если \( x_1 = 4 \), то \( y_1 = 2 - 4 = -2 \) Если \( x_2 = -7 \), то \( y_2 = 2 - (-7) = 9 \) Ответ: (4; -2), (-7; 9). № 551. \[ \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + 2y = 33 \end{cases} \] Выразим \( x \) из первого уравнения: \[ x = y + 1 \] Подставим во второе уравнение: \[ (y + 1)^2 + 2y = 33 \] \[ y^2 + 2y + 1 + 2y - 33 = 0 \] \[ y^2 + 4y - 32 = 0 \] По теореме Виета: \[ y_1 = -8; \quad y_2 = 4 \] Найдем \( x \): Если \( y_1 = -8 \), то \( x_1 = -8 + 1 = -7 \) Если \( y_2 = 4 \), то \( x_2 = 4 + 1 = 5 \) Ответ: (-7; -8), (5; 4). № 557. \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \[ y = 1 - x \] Подставим во второе уравнение: \[ x^2 + (1 - x)^2 = 25 \] \[ x^2 + 1 - 2x + x^2 - 25 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 4; \quad x_2 = -3 \] Найдем \( y \): Если \( x_1 = 4 \), то \( y_1 = 1 - 4 = -3 \) Если \( x_2 = -3 \), то \( y_2 = 1 - (-3) = 4 \) Ответ: (4; -3), (-3; 4).