Решение задач по геометрии: Куб - диагональ и площадь

Ниже представлено решение практических заданий по геометрии, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: куб, диагональ \(d\). Найти: площадь поверхности \(S\). Решение: Формула диагонали куба через его ребро \(a\): \[d = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{3}}\] Формула площади полной поверхности куба: \[S = 6a^2 = 6 \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{d^2}{3} = 2d^2\] а) При \(d = 1\): \[S = 2 \cdot 1^2 = 2 \text{ см}^2\] б) При \(d = 34\): \[S = 2 \cdot 34^2 = 2 \cdot 1156 = 2312 \text{ см}^2\] в) При \(d = 37\): \[S = 2 \cdot 37^2 = 2 \cdot 1369 = 2738 \text{ см}^2\] Задача 2. Дано: куб, площадь поверхности \(S\). Найти: диагональ \(d\). Решение: Из формулы \(S = 6a^2\) находим \(a^2 = \frac{S}{6}\). Подставляем в формулу \(d^2 = 3a^2\): \[d^2 = 3 \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{2} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{S}{2}}\] а) При \(S = 18\): \[d = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\] б) При \(S = 200\): \[d = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\] в) При \(S = 1568\): \[d = \sqrt{\frac{1568}{2}} = \sqrt{784} = 28 \text{ см}\] Задача 3. Дано: ребро куба увеличили на \(a\), площадь увеличилась на \(S\). Найти: начальное ребро куба \(x\). Решение: Пусть \(x\) — начальное ребро. Тогда начальная площадь \(S_1 = 6x^2\). Новое ребро \(x + a\), новая площадь \(S_2 = 6(x + a)^2\). Разность площадей: \(S_2 - S_1 = S\). \[6(x + a)^2 - 6x^2 = S\] \[6(x^2 + 2ax + a^2) - 6x^2 = S\] \[12ax + 6a^2 = S \Rightarrow 12ax = S - 6a^2 \Rightarrow x = \frac{S - 6a^2}{12a}\] а) При \(a = 1, S = 54\): \[x = \frac{54 - 6 \cdot 1^2}{12 \cdot 1} = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}\] б) При \(a = 9, S = 594\): \[x = \frac{594 - 6 \cdot 9^2}{12 \cdot 9} = \frac{594 - 486}{108} = \frac{108}{108} = 1 \text{ см}\] в) При \(a = 2, S = 192\): \[x = \frac{192 - 6 \cdot 2^2}{12 \cdot 2} = \frac{192 - 24}{24} = \frac{168}{24} = 7 \text{ см}\] Задача 5. Дано: ящик в форме куба без одной грани (крышки), ребро \(a\). Найти: площадь поверхности для покраски снаружи. Решение: Так как у ящика нет одной грани, нужно покрасить 5 квадратов со стороной \(a\). \[S = 5a^2\] а) При \(a = 10 \text{ см}\): \[S = 5 \cdot 10^2 = 500 \text{ см}^2\] б) При \(a = 15 \text{ см}\): \[S = 5 \cdot 15^2 = 5 \cdot 225 = 1125 \text{ см}^2\] в) При \(a = 30 \text{ см}\): \[S = 5 \cdot 30^2 = 5 \cdot 900 = 4500 \text{ см}^2\] Задача 6. Дано: прямоугольный параллелепипед, ребра \(a_1, a_2\), площадь поверхности \(S\). Найти: третье ребро \(a_3\). Решение: Формула площади поверхности: \(S = 2(a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_1 a_3)\). \[\frac{S}{2} = a_1 a_2 + a_3(a_1 + a_2)\] \[a_3 = \frac{\frac{S}{2} - a_1 a_2}{a_1 + a_2}\] а) При \(a_1 = 3, a_2 = 4, S = 94\): \[a_3 = \frac{\frac{94}{2} - 3 \cdot 4}{3 + 4} = \frac{47 - 12}{7} = \frac{35}{7} = 5 \text{ см}\] б) При \(a_1 = 1, a_2 = 4, S = 348\): \[a_3 = \frac{\frac{348}{2} - 1 \cdot 4}{1 + 4} = \frac{174 - 4}{5} = \frac{170}{5} = 34 \text{ см}\]