Решение задач по тригонометрии

Ниже представлены решения первых десяти задач из таблицы. Решения оформлены кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. Задание 1. Используем формулу синуса суммы: \( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) \). \[ \sin 2^\circ \cos 28^\circ + \sin 28^\circ \cos 2^\circ = \sin(2^\circ + 28^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Задание 2. Используем формулу синуса разности: \( \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha - \beta) \). \[ \sin 40^\circ \cos 10^\circ - \sin 10^\circ \cos 40^\circ = \sin(40^\circ - 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Задание 3. Используем формулу косинуса разности: \( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) \). \[ \cos 73^\circ \cos 13^\circ + \sin 73^\circ \sin 13^\circ = \cos(73^\circ - 13^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Задание 4. Используем формулу косинуса суммы: \( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta) \). \[ \cos 49^\circ \cos 11^\circ - \sin 49^\circ \sin 11^\circ = \cos(49^\circ + 11^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] Задание 5. Используем формулу косинуса суммы: \[ \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{15} - \sin \frac{\pi}{5} \sin \frac{2\pi}{15} = \cos\left(\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{15}\right) = \cos\left(\frac{3\pi + 2\pi}{15}\right) = \cos \frac{5\pi}{15} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] Задание 6. Используем формулу синуса разности: \[ \sin \frac{5\pi}{24} \cos \frac{3\pi}{8} - \sin \frac{3\pi}{8} \cos \frac{5\pi}{24} = \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{5\pi - 9\pi}{24}\right) = \sin\left(-\frac{4\pi}{24}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \] Задание 7. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \). \[ \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} \] Заметим, что \( \cos \frac{3\pi}{8} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{8} \). \[ \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} = 1 \] Задание 8. Используем формулу тангенса суммы: \( \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta} = tg(\alpha + \beta) \). \[ \frac{tg 13^\circ + tg 32^\circ}{1 - tg 13^\circ tg 32^\circ} = tg(13^\circ + 32^\circ) = tg 45^\circ = 1 \] Задание 9. Используем формулу тангенса разности: \( \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta} = tg(\alpha - \beta) \). \[ \frac{tg 65^\circ - tg 35^\circ}{1 + tg 65^\circ tg 35^\circ} = tg(65^\circ - 35^\circ) = tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Задание 10. Используем формулу тангенса суммы: \[ \frac{tg 111^\circ + tg 24^\circ}{1 - tg 111^\circ tg 24^\circ} = tg(111^\circ + 24^\circ) = tg 135^\circ = tg(180^\circ - 45^\circ) = -tg 45^\circ = -1 \]