Решение логического выражения F = w ∨ ((y → z) ∧ x)

Задание 1. Дано логическое выражение: \[ F = w \lor ((y \to z) \land x) \] Проанализируем выражение. Функция \( F \) ложна (\( 0 \)) только тогда, когда оба слагаемых дизъюнкции ложны: 1) \( w = 0 \) 2) \( (y \to z) \land x = 0 \) Рассмотрим вторую и третью строки таблицы, где \( F = 0 \). Из условия \( w = 0 \) следует, что переменная \( w \) не может находиться в столбцах, где есть хотя бы одна единица в строках с \( F = 0 \). Во второй строке (\( F = 0 \)) единицы стоят в 1-м и 2-м столбцах. В третьей строке (\( F = 0 \)) единицы стоят в 1-м и 4-м столбцах. Следовательно, \( w \) может быть только в 3-м столбце. Заполним таблицу для строк, где \( F = 0 \): Чтобы \( (y \to z) \land x = 0 \) при \( w = 0 \), нужно чтобы либо \( x = 0 \), либо \( (y \to z) = 0 \). Вспомним, что \( y \to z = 0 \) только при \( y = 1, z = 0 \). Посмотрим на вторую строку: \( F = 0 \), \( w = 0 \) (3-й столбец). В 1-м и 2-м столбцах стоят единицы. Если 1-й столбец — это \( x \), то \( x = 1 \). Тогда для ложности функции нужно, чтобы \( y \to z = 0 \), то есть \( y = 1, z = 0 \). Тогда во второй строке: \( x = 1, y = 1, w = 0, z = 0 \). Это значит, что 1-й и 2-й столбцы — это \( x \) и \( y \). Посмотрим на третью строку: \( F = 0 \), \( w = 0 \) (3-й столбец). В 1-м и 4-м столбцах стоят единицы. Мы уже предположили, что 1-й столбец — это \( x \) или \( y \). Если 1-й столбец — это \( y \), то \( y = 1 \). Чтобы \( F = 0 \), нужно либо \( x = 0 \), либо \( z = 0 \). В этой строке в 4-м столбце стоит \( 1 \). Если 4-й столбец — это \( x \), то \( x = 1 \). Тогда должно быть \( z = 0 \). Если 1-й столбец — это \( x \), то \( x = 1 \). Тогда должно быть \( y \to z = 0 \), то есть \( y = 1, z = 0 \). Сопоставим переменные по количеству единиц в строках с \( F = 0 \): Во второй строке две единицы, в третьей строке две единицы. Если \( w \) — 3-й столбец, то во второй строке: \( (1, 1, 0, 0) \). Это \( x=1, y=1, w=0, z=0 \). В третьей строке: \( (1, 0, 0, 1) \). Это \( y=1, x=0, w=0, z=1 \) — не подходит под условие \( F=0 \). Проверим вариант: 1-й столбец — \( y \), 2-й — \( x \), 3-й — \( w \), 4-й — \( z \). 2 строка: \( y=1, x=1, w=0, z=0 \). \( F = 0 \lor ((1 \to 0) \land 1) = 0 \lor (0 \land 1) = 0 \). (Верно) 3 строка: \( y=1, x=0, w=0, z=1 \). \( F = 0 \lor ((1 \to 1) \land 0) = 0 \lor (1 \land 0) = 0 \). (Верно) Проверим первую строку: \( F = 1 \). В 3-м и 4-м столбцах нули. По нашей гипотезе: \( w = 0, z = 0 \). \( F = 0 \lor ((y \to 0) \land x) = 1 \). Это возможно, если \( (y \to 0) \land x = 1 \), что значит \( x = 1 \) и \( y \to 0 = 1 \) (т.е. \( y = 0 \)). Строка получается: \( y=0, x=1, w=0, z=0 \). В ней две переменные равны \( 1 \). Это не противоречит таблице. Распределение столбцов: 1 столбец: \( y \) 2 столбец: \( x \) 3 столбец: \( w \) 4 столбец: \( z \) Ответ: yxwz