Решение логической задачи: (x < A) ∨ (y < A) ∨ (x + 2y > 50)

Задача: Для какого наименьшего целого неотрицательного \(A\) выражение \[ (x < A) \lor (y < A) \lor (x + 2y > 50) \] тождественно истинно при любых целых неотрицательных \(x\) и \(y\)? Решение: 1. Выражение представляет собой дизъюнкцию трех условий. Оно истинно, если истинно хотя бы одно из них. Чтобы выражение было истинно всегда, условия с \(A\) должны "закрывать" те случаи, когда третье условие ложно. 2. Рассмотрим область, где третье условие ложно: \[ x + 2y \le 50 \] При этих значениях \(x\) и \(y\) должно выполняться хотя бы одно из условий: \(x < A\) или \(y < A\). 3. Чтобы найти наименьшее \(A\), при котором это выполняется для всех целых неотрицательных \(x, y\), нам нужно найти такую точку в области \(x + 2y \le 50\), где значения \(x\) и \(y\) одновременно достигают своего "максимального минимума" относительно \(A\). 4. Нам нужно, чтобы для любой точки \((x, y)\), удовлетворяющей \(x + 2y \le 50\), было верно \(x < A\) или \(y < A\). Это условие нарушится, если найдутся такие \(x\) и \(y\), что: \[ x \ge A, \quad y \ge A \quad \text{и} \quad x + 2y \le 50 \] 5. Чтобы выражение было тождественно истинным, такая ситуация должна быть невозможна. То есть для минимальных возможных \(x\) и \(y\) (которые равны \(A\)) неравенство должно перестать выполняться: \[ A + 2A > 50 \] \[ 3A > 50 \] \[ A > \frac{50}{3} \] \[ A > 16,666... \] 6. Так как \(A\) — целое число, то наименьшее подходящее значение: \[ A = 17 \] Проверка: Если \(A = 17\), то при \(x \ge 17\) и \(y \ge 17\) минимальное значение суммы \(x + 2y\) будет \(17 + 2 \cdot 17 = 17 + 34 = 51\). Так как \(51 > 50\), то условие \(x + 2y > 50\) станет истинным. Таким образом, при любом выборе \(x, y \ge 0\) хотя бы одно из трех условий будет выполнено. Ответ: 17