Решение задачи: Вариант 4

Вариант 4 Задача 1 Дано: \(MK \parallel AC\), \(MA = 0,25\), \(BK = 0,9\), \(KC = 0,3\). Найти: \(BM\). Решение: По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса), если прямые параллельны, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки: \[ \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{BM}{0,25} = \frac{0,9}{0,3} \] \[ \frac{BM}{0,25} = 3 \] \[ BM = 3 \cdot 0,25 = 0,75 \] Ответ: а) 0,75. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), \(AB = 320\) см, \(A_1B_1 = 160\) см, \(AC = 200\) см, \(BC = 280\) см. Найти: \(P_{A_1B_1C_1}\). Решение: 1) Найдем коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{160}{320} = 0,5 \] 2) Периметр \(\triangle ABC\): \[ P_{ABC} = AB + BC + AC = 320 + 280 + 200 = 800 \text{ см} \] 3) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC} \cdot k = 800 \cdot 0,5 = 400 \text{ см} \] Ответ: б) 400 см. Задача 3 Дано: Прямоугольные треугольники с общим углом. Гипотенуза большого треугольника \(25 + 15 = 40\), катет \(20\). Малый треугольник имеет гипотенузу \(25\) и катет \(k\). Найти: \(k\). Решение: Треугольники подобны по двум углам (общий острый угол и прямые углы). Из подобия следует: \[ \frac{k}{20} = \frac{25}{25 + 15} \] \[ \frac{k}{20} = \frac{25}{40} \] \[ \frac{k}{20} = \frac{5}{8} \] \[ k = \frac{20 \cdot 5}{8} = \frac{100}{8} = 12,5 \] Ответ: в) 12,5. Задача 4 Дано: Трапеция \(ABCD\), \(BC = 2\) см, \(AD = 7\) см, \(BD = 7\) см. \(O\) — точка пересечения диагоналей. Найти: \(BO\). Решение: Треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны по двум углам (накрест лежащие углы при \(BC \parallel AD\)). Пусть \(BO = x\), тогда \(OD = BD - BO = 7 - x\). Из подобия: \[ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} \] \[ \frac{x}{7 - x} = \frac{2}{7} \] \[ 7x = 2(7 - x) \] \[ 7x = 14 - 2x \] \[ 9x = 14 \] \[ x = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \text{ см} \] Ответ: б) \(1\frac{5}{9}\) см. Задача 5 Дано: \(\angle FGB = \angle ACB\), \(FB = 6\), \(AF = 8\), \(GC = 12\), \(AC = 21\). Найти: \(P_{FBG}\). Решение: 1) \(\triangle FBG \sim \triangle ABC\) по двум углам (\(\angle B\) — общий, \(\angle FGB = \angle ACB\) по условию). 2) Сторона \(AB = FB + AF = 6 + 8 = 14\). 3) Коэффициент подобия \(k = \frac{FB}{AB} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\). 4) Найдем стороны \(BG\) и \(FG\): \[ \frac{BG}{BC} = k \Rightarrow \frac{BG}{BG + 12} = \frac{3}{7} \Rightarrow 7BG = 3BG + 36 \Rightarrow 4BG = 36 \Rightarrow BG = 9 \] \[ \frac{FG}{AC} = k \Rightarrow \frac{FG}{21} = \frac{3}{7} \Rightarrow FG = \frac{21 \cdot 3}{7} = 9 \] 5) Периметр \(P_{FBG} = FB + BG + FG = 6 + 9 + 9 = 24\) см. Ответ: а) 24 см.