Решение задач: Соотношения между сторонами и углами треугольника

Ниже представлены ответы на тестовые задания I варианта по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Решения оформлены кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. Тест. I вариант 1. Для треугольника \(ABC\) справедливо равенство: Правильный ответ: б) \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC\). (Примечание: В учебнике в пункте «б» опечатка в названии угла, должно быть \(\angle A\) или \(\angle BAC\). По смыслу теоремы косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними). 2. Площадь треугольника \(MNK\) равна: Правильный ответ: в) \(\frac{1}{2} MN \cdot NK \cdot \sin \angle MNK\). (Формула площади: половина произведения двух сторон на синус угла между ними). 3. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против: Правильный ответ: б) прямого угла. (Это частный случай теоремы косинусов — теорема Пифагора: \(a^2 = b^2 + c^2\), если \(\cos 90^\circ = 0\)). 4. В треугольнике \(ABC\) известны длины сторон \(AB\) и \(BC\). Чтобы найти сторону \(AC\), необходимо знать величину: Правильный ответ: б) угла \(B\). (По теореме косинусов для нахождения третьей стороны нужен угол между двумя известными сторонами). 5. Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см: Решение: Проверим по теореме косинусов для наибольшей стороны: \[ 7^2 = 49 \] \[ 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \] Так как \(49 < 61\), то угол против стороны 7 см острый. Значит, треугольник остроугольный. Правильный ответ: а) остроугольный. 6. В треугольнике \(ABC\) \(\angle A = 30^\circ\), \(BC = 3\). Радиус описанной окружности равен: Решение: По теореме синусов \(2R = \frac{BC}{\sin A}\). \[ R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{3}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{3}{2 \cdot 0,5} = 3 \] Правильный ответ: в) 3. 7. Если в треугольнике \(ABC\) \(\angle A = 48^\circ\), \(\angle B = 72^\circ\), то наибольшей стороной является: Решение: Найдем третий угол: \(\angle C = 180^\circ - (48^\circ + 72^\circ) = 60^\circ\). Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла. Угол \(B = 72^\circ\) — наибольший, значит сторона \(AC\) — наибольшая. Правильный ответ: б) \(AC\). 8. В треугольнике \(CDE\): Правильный ответ: в) \(CD \cdot \sin D = DE \cdot \sin E\). (Из теоремы синусов: \(\frac{CD}{\sin E} = \frac{DE}{\sin C}\) — не подходит; \(\frac{CD}{\sin E} = \frac{CE}{\sin D} \Rightarrow CD \cdot \sin D = CE \cdot \sin E\). В пункте «в» опечатка в буквах, но это наиболее близкое соотношение по структуре теоремы синусов). 9. По теореме синусов: Правильный ответ: б) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 10. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 10\) см, \(BC = 5\) см. Найти отношение синуса угла \(A\) к синусу угла \(C\): Решение: По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\). Отсюда \(\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\). Правильный ответ: а) \(\frac{1}{2}\).