Решение: Признаки параллельности прямых. Вариант 1

Признаки параллельности прямых. Вариант 1. Задача 1. Укажите вид углов 1 и 2. Решение: Данные углы лежат по одну сторону от секущей \(c\) между прямыми \(a\) и \(b\). Ответ: Внутренние односторонние углы. Задача 2. На рисунке \(a \parallel b\), \(\angle 1 + \angle 2 = 110^{\circ}\). Найдите \(\angle 1\). Решение: Углы 1 и 2 являются накрест лежащими при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(c\). По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: \[\angle 1 = \angle 2\] Так как их сумма равна \(110^{\circ}\), то: \[\angle 1 = 110^{\circ} : 2 = 55^{\circ}\] Ответ: \(55^{\circ}\). Задача 3. По данным рисунка найдите \(\angle 1\). Решение: 1) Рассмотрим углы при секущей \(c\). Внутренние односторонние углы равны \(65^{\circ}\) и \(115^{\circ}\). Их сумма: \[65^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ}\] Так как сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), то прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)). 2) Рассмотрим углы при секущей \(d\). Угол \(1\) и угол \(70^{\circ}\) являются накрест лежащими при \(a \parallel b\). По свойству параллельных прямых: \[\angle 1 = 70^{\circ}\] Ответ: \(70^{\circ}\). Задача 4. При пересечении двух параллельных прямых секущей разность односторонних углов равна \(70^{\circ}\). Найдите градусную меру большего угла. Решение: Пусть \(x\) — градусная мера меньшего угла, тогда \((x + 70^{\circ})\) — градусная мера большего угла. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна \(180^{\circ}\). Составим уравнение: \[x + (x + 70^{\circ}) = 180^{\circ}\] \[2x + 70^{\circ} = 180^{\circ}\] \[2x = 110^{\circ}\] \[x = 55^{\circ}\] Больший угол равен: \[55^{\circ} + 70^{\circ} = 125^{\circ}\] Ответ: \(125^{\circ}\). Задача 5. В окружности проведены диаметры \(AB\) и \(CD\). Докажите, что хорды \(AC\) и \(BD\) параллельны. Доказательство: 1) Рассмотрим треугольники \(AOC\) и \(BOD\), где \(O\) — центр окружности. 2) \(AO = OB\) и \(CO = OD\), так как это радиусы одной окружности. 3) \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные углы. 4) Следовательно, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle OAC = \angle OBD\). 6) Углы \(OAC\) и \(OBD\) являются накрест лежащими при прямых \(AC\) и \(BD\) и секущей \(AB\). 7) Так как накрест лежащие углы равны, то \(AC \parallel BD\) по признаку параллельности прямых. Что и требовалось доказать.