Решение задачи: Площадь трапеции с углом 30 градусов

Задача №1 Дано: Трапеция, основания \( a = 4 \) см, \( b = 14 \) см. Боковая сторона \( c = 22 \) см, угол при основании \( \alpha = 30^{\circ} \). Найти: \( S \) — площадь трапеции. Решение: 1. Проведем высоту \( h \) из вершины трапеции к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, где боковая сторона \( c \) является гипотенузой, а высота \( h \) — катетом, лежащим против угла \( 30^{\circ} \). 2. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы: \[ h = \frac{c}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ (см)} \] 3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] \[ S = \frac{4 + 14}{2} \cdot 11 = \frac{18}{2} \cdot 11 = 9 \cdot 11 = 99 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 99 \( \text{см}^2 \). Задача №2 Дано: Равнобедренная трапеция, основания \( a = 2 \) см, \( b = 6 \) см. Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \). Найти: \( S \) — площадь трапеции. Решение: 1. Проведем две высоты из вершин малого основания к большему. Они отсекают на большем основании отрезки, крайний из которых \( x \) равен: \[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ (см)} \] 2. В прямоугольном треугольнике с углом \( 45^{\circ} \) катеты равны (треугольник равнобедренный). Значит, высота \( h \) равна отрезку \( x \): \[ h = x = 2 \text{ (см)} \] 3. Находим площадь: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{2 + 6}{2} \cdot 2 = 8 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: 8 \( \text{см}^2 \). Задача №3 Дано: Ромб, сторона \( a = 10 \). Расстояние от центра до стороны \( r = 3 \). Найти: \( S \) — площадь ромба. Решение: 1. Расстояние от центра ромба (точки пересечения диагоналей) до его стороны является радиусом вписанной окружности. 2. Высота ромба \( H \) в два раза больше этого расстояния: \[ H = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \] 3. Площадь ромба через сторону и высоту: \[ S = a \cdot H = 10 \cdot 6 = 60 \] Ответ: 60. Задача №4 Дано: Треугольник, стороны \( a = 16 \) см, \( b = 8 \) см. Высота к большей стороне \( h_a = 12 \) см. Найти: \( h_b \) — высоту к меньшей стороне. Решение: 1. Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и проведенную к ней высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \] 2. Подставим известные значения для проверки площади (в условии дано 96, проверим): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \text{ (см}^2\text{)} \] Данные согласованы. 3. Выразим и найдем высоту \( h_b \): \[ 96 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_b \] \[ 96 = 4 \cdot h_b \] \[ h_b = \frac{96}{4} = 24 \text{ (см)} \] Ответ: 24 см.