Решение иррационального уравнения: 7x - 2 = 3√(2x + 3)√(3x - 8)

Решение иррационального уравнения: \[ 7x - 2 = 3\sqrt{2x + 3} \cdot \sqrt{3x - 8} \] 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \[ \begin{cases} 2x + 3 \geq 0 \\ 3x - 8 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -1,5 \\ x \geq 2\frac{2}{3} \end{cases} \] Следовательно, \( x \geq 2\frac{2}{3} \). Также левая часть уравнения должна быть неотрицательной: \( 7x - 2 \geq 0 \), что выполняется при \( x \geq \frac{2}{7} \). Итоговое ОДЗ: \( x \in [2\frac{2}{3}; +\infty) \). 2. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (7x - 2)^2 = (3\sqrt{(2x + 3)(3x - 8)})^2 \] \[ 49x^2 - 28x + 4 = 9(2x + 3)(3x - 8) \] 3. Раскроем скобки в правой части: \[ 49x^2 - 28x + 4 = 9(6x^2 - 16x + 9x - 24) \] \[ 49x^2 - 28x + 4 = 9(6x^2 - 7x - 24) \] \[ 49x^2 - 28x + 4 = 54x^2 - 63x - 216 \] 4. Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: \[ 54x^2 - 49x^2 - 63x + 28x - 216 - 4 = 0 \] \[ 5x^2 - 35x - 220 = 0 \] 5. Разделим все уравнение на 5 для упрощения: \[ x^2 - 7x - 44 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] 7. Проверим корни по ОДЗ: Число \( 11 \) входит в ОДЗ (\( 11 \geq 2\frac{2}{3} \)). Число \( -4 \) не входит в ОДЗ (\( -4 < 2\frac{2}{3} \)), так как при \( x = -4 \) левая часть уравнения отрицательна, а под корнями получаются отрицательные числа. Ответ: \( x = 11 \).