Решение задачи 8.14: Показательные уравнения

Решение номера 8.14. а) \( 2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 6t + 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 6 \] \[ t_1 \cdot t_2 = 8 \] Отсюда \( t_1 = 2 \), \( t_2 = 4 \). Оба значения удовлетворяют условию \( t > 0 \). Вернемся к замене: 1) \( 2^x = 2^1 \Rightarrow x_1 = 1 \) 2) \( 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x_2 = 2 \) Ответ: 1; 2. б) \( 3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 6t - 27 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 6 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -27 \] Отсюда \( t_1 = 9 \), \( t_2 = -3 \). Так как \( t > 0 \), то \( t = -3 \) не подходит. Вернемся к замене: \( 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 \) Ответ: 2. в) \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 5t - 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 5 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -6 \] Отсюда \( t_1 = 6 \), \( t_2 = -1 \). Так как \( t > 0 \), то \( t = -1 \) не подходит. Вернемся к замене: \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = 6 \Rightarrow 6^{-x} = 6^1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1 \) Ответ: -1. г) \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 5t - 6 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = -5 \] \[ t_1 \cdot t_2 = -6 \] Отсюда \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -6 \). Так как \( t > 0 \), то \( t = -6 \) не подходит. Вернемся к замене: \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{6}\right)^x = \left(\frac{1}{6}\right)^0 \Rightarrow x = 0 \) Ответ: 0.