Решение задачи 8.14 через дискриминант и замену переменной

Решение номера 8.14 через дискриминант и введение новой переменной. а) \( 2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0 \) Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Уравнение принимает вид: \[ t^2 - 6t + 8 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Находим корни \( t \): \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \] Оба корня положительные. Сделаем обратную замену: 1) \( 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x_1 = 2 \) 2) \( 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1 \) Ответ: 1; 2. б) \( 3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 6t - 27 = 0 \] \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \] Находим корни \( t \): \[ t_1 = \frac{6 + 12}{2} = 9 \] \[ t_2 = \frac{6 - 12}{2} = -3 \] Так как \( t > 0 \), корень \( t_2 = -3 \) не подходит. Обратная замена: \[ 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2 \] Ответ: 2. в) \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 5t - 6 = 0 \] \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] Находим корни \( t \): \[ t_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \] \[ t_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \] Корень \( t_2 = -1 \) не подходит по условию \( t > 0 \). Обратная замена: \[ \left(\frac{1}{6}\right)^x = 6 \Rightarrow 6^{-x} = 6^1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1 \] Ответ: -1. г) \( \left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x - 6 = 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{6}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 5t - 6 = 0 \] \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] Находим корни \( t \): \[ t_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] Корень \( t_2 = -6 \) не подходит по условию \( t > 0 \). Обратная замена: \[ \left(\frac{1}{6}\right)^x = 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{6}\right)^x = \left(\frac{1}{6}\right)^0 \Rightarrow x = 0 \] Ответ: 0.