Решение задачи 8.40: Показательные неравенства

Решение задачи 8.40. а) \( 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда неравенство примет вид: \[ t^2 - 4t + 3 \le 0 \] Найдем корни квадратного трехчлена \( t^2 - 4t + 3 = 0 \): По теореме Виета: \( t_1 + t_2 = 4 \), \( t_1 \cdot t_2 = 3 \). Отсюда \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 3 \). Решением неравенства относительно \( t \) будет промежуток: \[ 1 \le t \le 3 \] Сделаем обратную замену: \[ 1 \le 3^x \le 3 \] \[ 3^0 \le 3^x \le 3^1 \] Так как основание \( 3 > 1 \), то знаки неравенства сохраняются: \[ 0 \le x \le 1 \] Ответ: \( [0; 1] \). б) \( 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0 \) Пусть \( 5^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 4t - 5 \ge 0 \] Корни уравнения \( t^2 + 4t - 5 = 0 \): \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -5 \). Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства будут промежутки \( t \le -5 \) и \( t \ge 1 \). Учитывая условие \( t > 0 \), остается только: \[ t \ge 1 \] Обратная замена: \[ 5^x \ge 1 \] \[ 5^x \ge 5^0 \] \[ x \ge 0 \] Ответ: \( [0; +\infty) \). в) \( 0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0 \) Пусть \( 0,2^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 1,2t + 0,2 > 0 \] Корни уравнения \( t^2 - 1,2t + 0,2 = 0 \): \( D = (-1,2)^2 - 4 \cdot 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64 = 0,8^2 \) \[ t_1 = \frac{1,2 + 0,8}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{1,2 - 0,8}{2} = 0,2 \] Решение неравенства: \( t < 0,2 \) или \( t > 1 \). Обратная замена: 1) \( 0,2^x < 0,2^1 \). Так как основание \( 0,2 < 1 \), знак меняется: \( x > 1 \). 2) \( 0,2^x > 1 \Rightarrow 0,2^x > 0,2^0 \). Знак меняется: \( x < 0 \). Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \). г) \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{7}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 6t - 7 < 0 \] Корни уравнения \( t^2 + 6t - 7 = 0 \): \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -7 \). Решение неравенства: \( -7 < t < 1 \). С учетом \( t > 0 \), получаем: \[ 0 < t < 1 \] Обратная замена: \[ \left(\frac{1}{7}\right)^x < 1 \] \[ \left(\frac{1}{7}\right)^x < \left(\frac{1}{7}\right)^0 \] Так как основание \( \frac{1}{7} < 1 \), знак неравенства меняется: \[ x > 0 \] Ответ: \( (0; +\infty) \).