Решение задачи 8.40: дискриминант и замена переменной

Решение задачи 08.40. а) \( 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0 \) Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда неравенство примет вид: \[ t^2 - 4t + 3 \le 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 - 4t + 3 = 0 \) через дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] \[ t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] Решением неравенства относительно \( t \) является промежуток: \[ 1 \le t \le 3 \] Вернемся к переменной \( x \): \[ 1 \le 3^x \le 3 \] \[ 3^0 \le 3^x \le 3^1 \] Так как основание \( 3 > 1 \), то: \[ 0 \le x \le 1 \] Ответ: \( [0; 1] \). б) \( 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 > 0 \) Пусть \( 5^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 4t - 5 > 0 \] Найдем корни уравнения \( t^2 + 4t - 5 = 0 \): \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] \[ t_1 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \] \[ t_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] Решение неравенства: \( t < -5 \) или \( t > 1 \). Учитывая условие \( t > 0 \), остается только \( t > 1 \). \[ 5^x > 1 \] \[ 5^x > 5^0 \] \[ x > 0 \] Ответ: \( (0; +\infty) \). в) \( 0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0 \) Пусть \( 0,2^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 - 1,2t + 0,2 > 0 \] Найдем корни уравнения \( t^2 - 1,2t + 0,2 = 0 \): \[ D = (-1,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64 \] \[ t_1 = \frac{1,2 - 0,8}{2} = 0,2 \] \[ t_2 = \frac{1,2 + 0,8}{2} = 1 \] Решение неравенства: \( t < 0,2 \) или \( t > 1 \). Вернемся к \( x \): 1) \( 0,2^x < 0,2^1 \Rightarrow x > 1 \) (знак меняется, так как \( 0,2 < 1 \)) 2) \( 0,2^x > 0,2^0 \Rightarrow x < 0 \) Ответ: \( (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \). г) \( \left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0 \) Пусть \( \left(\frac{1}{7}\right)^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 6t - 7 < 0 \] Корни уравнения \( t^2 + 6t - 7 = 0 \): \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] \[ t_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \] \[ t_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \] Решение неравенства: \( -7 < t < 1 \). С учетом \( t > 0 \), получаем \( 0 < t < 1 \). \[ \left(\frac{1}{7}\right)^x < 1 \] \[ \left(\frac{1}{7}\right)^x < \left(\frac{1}{7}\right)^0 \] Так как основание \( \frac{1}{7} < 1 \), знак неравенства меняется: \[ x > 0 \] Ответ: \( (0; +\infty) \).