Решение задачи №468 (б и г)

Решение задачи №468 (пункты б и г). б) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} - \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} = 4,8 \) Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем степени, то есть \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \). Чтобы понять, что останется в скобках, нужно из показателей вычесть \( (x+1) \): \( (x-1) - (x+1) = x - 1 - x - 1 = -2 \). Однако удобнее вынести \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} \), тогда в скобках останутся целые степени: \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2\right) = 4,8 \) Вычислим значение в скобках: \( 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \) Подставим обратно в уравнение: \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} \cdot \frac{24}{25} = 4,8 \) Представим 4,8 в виде обыкновенной дроби: \( 4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5} \). \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{5} \) Разделим обе части на \( \frac{24}{25} \) (или умножим на \( \frac{25}{24} \)): \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{24} \) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} = 5 \) Представим 5 как степень с основанием \( \frac{1}{5} \): \( 5 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \). \( \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} \) Приравняем показатели: \( x - 1 = -1 \) \( x = 0 \) Ответ: 0. г) \( 5 \cdot 9^x + 9^{x-2} = 406 \) Вынесем за скобки \( 9^{x-2} \): \( 9^{x-2} \cdot (5 \cdot 9^2 + 1) = 406 \) Вычислим значение в скобках: \( 5 \cdot 81 + 1 = 405 + 1 = 406 \) Получаем уравнение: \( 9^{x-2} \cdot 406 = 406 \) Разделим обе части на 406: \( 9^{x-2} = 1 \) Любое число в нулевой степени равно 1, значит: \( 9^{x-2} = 9^0 \) Приравняем показатели: \( x - 2 = 0 \) \( x = 2 \) Ответ: 2.