Решение задачи: разность углов многоугольников

Дано: Пусть \( n_1 \) и \( n_2 \) — количество сторон первого и второго правильных многоугольников. Решение: 1. Сумма внутренних углов правильного \( n \)-угольника вычисляется по формуле: \[ S = 180^\circ(n - 2) \] По условию разность сумм углов равна \( 360^\circ \): \[ 180^\circ(n_1 - 2) - 180^\circ(n_2 - 2) = 360^\circ \] Разделим всё уравнение на \( 180^\circ \): \[ (n_1 - 2) - (n_2 - 2) = 2 \] \[ n_1 - n_2 = 2 \implies n_1 = n_2 + 2 \] 2. Внешний угол правильного \( n \)-угольника равен \( \frac{360^\circ}{n} \). По условию разность внешних углов равна \( 30^\circ \): \[ \frac{360^\circ}{n_2} - \frac{360^\circ}{n_1} = 30^\circ \] Разделим на \( 30^\circ \): \[ \frac{12}{n_2} - \frac{12}{n_1} = 1 \] 3. Подставим \( n_1 = n_2 + 2 \) в уравнение: \[ \frac{12}{n_2} - \frac{12}{n_2 + 2} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{12(n_2 + 2) - 12n_2}{n_2(n_2 + 2)} = 1 \] \[ \frac{24}{n_2^2 + 2n_2} = 1 \implies n_2^2 + 2n_2 - 24 = 0 \] По теореме Виета корни уравнения: \( n_2 = 4 \) и \( n_2 = -6 \) (не подходит). Тогда \( n_1 = 4 + 2 = 6 \). Ответ: 6 и 4.