Решение Неравенств Методом Интервалов

Решение неравенств методом интервалов. 1. Решим первое неравенство: \[ (2x - 10)(x + 3)(x - 4) \] Судя по записи, это выражение, которое обычно требуется сравнить с нулем. Если это неравенство вида \( (2x - 10)(x + 3)(x - 4) > 0 \), то: Найдем корни множителей: \[ 2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5 \] \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Отметим точки на числовой прямой: \( -3 \), \( 4 \), \( 5 \). Расставим знаки на интервалах: При \( x > 5 \) выражение положительно. Далее знаки чередуются: \( (-\infty; -3) \) — минус; \( (-3; 4) \) — плюс; \( (4; 5) \) — минус; \( (5; +\infty) \) — плюс. 2. Решим второе неравенство: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 3} \le 0 \] Найдем нули числителя и знаменателя: Числитель: \( x = 2 \), \( x = -2 \) (точки закрашенные, так как неравенство нестрогое). Знаменатель: \( x \ne 3 \) (точка выколотая). Отметим точки на прямой: \( -2 \), \( 2 \), \( 3 \). Определим знаки: При \( x > 3 \) дробь положительна. Интервалы: \( (-\infty; -2] \) — знак \( - \) (подходит); \( [-2; 2] \) — знак \( + \); \( [2; 3) \) — знак \( - \) (подходит); \( (3; +\infty) \) — знак \( + \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [2; 3) \). 3. Решим третье неравенство: \[ \frac{2x - 1}{x + 3} \ge 1 \] Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2x - 1}{x + 3} - 1 \ge 0 \] \[ \frac{2x - 1 - (x + 3)}{x + 3} \ge 0 \] \[ \frac{2x - 1 - x - 3}{x + 3} \ge 0 \] \[ \frac{x - 4}{x + 3} \ge 0 \] Найдем критические точки: Числитель: \( x = 4 \) (закрашенная). Знаменатель: \( x \ne -3 \) (выколотая). Отметим точки \( -3 \) и \( 4 \) на прямой. Определим знаки: При \( x > 4 \) дробь положительна. Интервалы: \( (-\infty; -3) \) — знак \( + \) (подходит); \( (-3; 4] \) — знак \( - \); \( [4; +\infty) \) — знак \( + \) (подходит). Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup [4; +\infty) \).