Решение: Решить неравенство

Решение неравенства: \[ -\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \leqslant 0 \] 1. Умножим обе части неравенства на \(-1\). При этом знак неравенства изменится на противоположный: \[ \frac{12}{x^2 - 7x - 8} \geqslant 0 \] 2. Так как числитель равен \(12\) (положительное число), то дробь будет больше или равна нулю только в том случае, если знаменатель положителен. Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Получаем условие: \[ x^2 - 7x - 8 > 0 \] 3. Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 7x - 8 = 0\). Воспользуемся теоремой Виета: \[ x_1 + x_2 = 7 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -8 \] Отсюда корни: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -1\). 4. Разложим знаменатель на множители: \[ (x - 8)(x + 1) > 0 \] 5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим точки \(-1\) и \(8\) на числовой прямой (точки выколотые, так как неравенство строгое): — При \(x > 8\) выражение положительно (+). — При \(-1 < x < 8\) выражение отрицательно (-). — При \(x < -1\) выражение положительно (+). Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Ответ: \[ x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) \]