Решение задач по тригонометрии (номера 3, 4, 5, 6, 9, 15, 22)

Ниже представлены решения выбранных номеров из практической работы по теме "Тригонометрические функции двойного и половинного угла". Решения оформлены последовательно для удобного переписывания в тетрадь. 3) \[\frac{2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha}{\cos^2 3\alpha - \cos^2 (\frac{\pi}{2} - 3\alpha)} = \frac{\sin(2 \cdot 3\alpha)}{\cos^2 3\alpha - \sin^2 3\alpha} = \frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \text{tg } 6\alpha\] 4) \[2 \sin(\beta + 45^\circ) \sin(45^\circ - \beta) = 2 \sin(45^\circ + \beta) \sin(45^\circ - \beta) = \] \[ = \cos((45^\circ + \beta) - (45^\circ - \beta)) - \cos((45^\circ + \beta) + (45^\circ - \beta)) = \] \[ = \cos(2\beta) - \cos 90^\circ = \cos 2\beta - 0 = \cos 2\beta\] 5) \[\frac{\sin 4\alpha}{2 \sin^2 2\alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin^2 2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \text{ctg } 2\alpha\] 6) \[\frac{2 \text{ctg } \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{2 \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \sin^2 \alpha}{-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{-\cos 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{-\cos 2\alpha} = -\text{tg } 2\alpha\] 9) \[(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ) = \] \[ = (2 \sin \frac{10^\circ + 80^\circ}{2} \cos \frac{10^\circ - 80^\circ}{2}) \cdot (-2 \sin \frac{80^\circ + 10^\circ}{2} \sin \frac{80^\circ - 10^\circ}{2}) = \] \[ = (2 \sin 45^\circ \cos 35^\circ) \cdot (-2 \sin 45^\circ \sin 35^\circ) = \] \[ = -4 \sin^2 45^\circ \sin 35^\circ \cos 35^\circ = -2 \sin^2 45^\circ (2 \sin 35^\circ \cos 35^\circ) = \] \[ = -2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \cdot \sin 70^\circ = -2 \cdot \frac{2}{4} \cdot \sin 70^\circ = -1 \cdot \sin 70^\circ = -\sin 70^\circ\] 15) \[\frac{\sin \alpha + \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \alpha + \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}} = \] \[ = \frac{\sin \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)}{\cos \frac{\alpha}{2} (2 \cos \frac{\alpha}{2} + 1)} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg } \frac{\alpha}{2}\] 22) \[\frac{\sin^2 \frac{\beta}{4} - 2 \cos^2 \frac{\beta}{8}}{1 + \cos \frac{\beta}{4}} = \frac{\sin^2 \frac{\beta}{4} - (1 + \cos \frac{\beta}{4})}{1 + \cos \frac{\beta}{4}} = \frac{(1 - \cos^2 \frac{\beta}{4}) - (1 + \cos \frac{\beta}{4})}{1 + \cos \frac{\beta}{4}} = \] \[ = \frac{1 - \cos^2 \frac{\beta}{4} - 1 - \cos \frac{\beta}{4}}{1 + \cos \frac{\beta}{4}} = \frac{-\cos \frac{\beta}{4} (\cos \frac{\beta}{4} + 1)}{1 + \cos \frac{\beta}{4}} = -\cos \frac{\beta}{4}\]