Решение задачи 586(б): Сторона равностороннего треугольника

Решение задачи №586 (б) Условие: Найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см. Дано: Треугольник \(ABC\) — равносторонний. \(h = 4\) см — высота. Найти: \(a\) — сторону треугольника. Решение: В равностороннем треугольнике высота \(h\), проведенная к стороне, также является медианой. Если обозначить сторону треугольника за \(a\), то высота делит основание на два отрезка, равных \( \frac{a}{2} \). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной стороны и боковой стороной: \[ h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2 \] Выразим высоту \(h\) через сторону \(a\): \[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \] \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Из полученной формулы выразим сторону \(a\): \[ a = \frac{2h}{\sqrt{3}} \] Подставим значение высоты \(h = 4\) см: \[ a = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ a = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ см} \] Ответ: \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.