Решение задач 2, 30, 13, 12, 27, 21. Замена переменной в номерах 12 и 13.

Ниже представлено решение номеров 12 и 13 с использованием метода введения новой переменной. Этот способ часто требуется учителями для демонстрации понимания алгоритма решения показательных уравнений и неравенств. Решение номера 12: \[ 9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36 \] Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: \[ 9 \cdot \frac{3^x}{3} + 3^x < 36 \] \[ 3 \cdot 3^x + 3^x < 36 \] Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда неравенство примет вид: \[ 3t + t < 36 \] \[ 4t < 36 \] \[ t < 9 \] С учетом условия \( t > 0 \), получаем интервал \( 0 < t < 9 \). Выполним обратную замену: \[ 3^x < 9 \] \[ 3^x < 3^2 \] Так как основание \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ x < 2 \] Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \) Решение номера 13: \[ 2^{x+3} + 2^{x+1} - 7 \cdot 2^x = 12 \] Разложим степени с суммами в показателях: \[ 2^x \cdot 2^3 + 2^x \cdot 2^1 - 7 \cdot 2^x = 12 \] \[ 8 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - 7 \cdot 2^x = 12 \] Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Подставим \( t \) в уравнение: \[ 8t + 2t - 7t = 12 \] Приведем подобные слагаемые: \[ 3t = 12 \] \[ t = 4 \] Число 4 удовлетворяет условию \( t > 0 \). Выполним обратную замену: \[ 2^x = 4 \] \[ 2^x = 2^2 \] \[ x = 2 \] Ответ: 2