Решение задач №2, 12, 13, 21, 27 с заменой переменной

Ниже представлено решение номеров 21 и 27 через введение новой переменной. Решение номера 21: \[ 2^{x-1} + 2^{x+2} = 36 \] Преобразуем степени: \[ \frac{2^x}{2} + 2^x \cdot 2^2 = 36 \] \[ \frac{1}{2} \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 36 \] Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Уравнение принимает вид: \[ \frac{1}{2}t + 4t = 36 \] \[ 4,5t = 36 \] \[ t = \frac{36}{4,5} \] \[ t = 8 \] Выполним обратную замену: \[ 2^x = 8 \] \[ 2^x = 2^3 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3 Решение номера 27: \[ 5^x + 5^{x+2} \le 130 \] Преобразуем второе слагаемое: \[ 5^x + 5^x \cdot 5^2 \le 130 \] \[ 5^x + 25 \cdot 5^x \le 130 \] Пусть \( 5^x = t \), где \( t > 0 \). Неравенство принимает вид: \[ t + 25t \le 130 \] \[ 26t \le 130 \] \[ t \le \frac{130}{26} \] \[ t \le 5 \] С учетом условия \( t > 0 \), получаем \( 0 < t \le 5 \). Выполним обратную замену: \[ 5^x \le 5 \] \[ 5^x \le 5^1 \] Так как основание \( 5 > 1 \), знак неравенства не меняется: \[ x \le 1 \] Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \)