Напряженное и деформированное состояние в точке тела. Решение.

Вопрос 2. Напряженное и деформированное состояние в точке тела Напряженное состояние в точке — это совокупность всех напряжений, действующих на всех воображаемых площадках, которые можно провести через эту точку. 1. Общий случай напряженного состояния В общем случае через точку можно провести три взаимно перпендикулярные площадки. На каждой из них действуют полное напряжение, которое раскладывается на одно нормальное \( \sigma \) и два касательных \( \tau \). Всего компоненты напряжений записываются в виде тензора напряжений: \[ \begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} \] Согласно закону парности касательных напряжений: \( \tau_{xy} = \tau_{yx} \), \( \tau_{xz} = \tau_{zx} \), \( \tau_{yz} = \tau_{zy} \). 2. Главные площадки и главные напряжения Главными площадками называются такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю (\( \tau = 0 \)). Напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Их принято обозначать \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \), причем соблюдается условие: \[ \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \] Типы напряженного состояния: — Линейное (одноосное): два из трех главных напряжений равны нулю. — Плоское (двухосное): одно из главных напряжений равно нулю. — Объемное (трехосное): все три главных напряжения отличны от нуля. 3. Напряжения на наклонной площадке (плоское состояние) Если мы знаем напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, то напряжения на площадке, наклоненной под углом \( \alpha \), определяются по формулам: \[ \sigma_{\alpha} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\alpha - \tau_{xy} \sin 2\alpha \] \[ \tau_{\alpha} = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\alpha + \tau_{xy} \cos 2\alpha \] 4. Площадки с наибольшими касательными напряжениями Максимальные касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом \( 45^{\circ} \) к главным площадкам. Их величина: \[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \] Это важно для изучения пластических деформаций металлов, которые часто происходят путем сдвига. 5. Понятие о деформированном состоянии в точке Подобно напряженному состоянию, деформированное состояние описывает изменение формы и объема в окрестности точки. Оно характеризуется: — Линейными деформациями \( \epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z \) (изменение длин). — Угловыми деформациями \( \gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx} \) (изменение углов между осями). Существуют также главные оси деформации, вдоль которых происходят только удлинения или укорочения, а угловые искажения отсутствуют. Изучение этих состояний позволяет российским ученым и инженерам создавать сверхпрочные материалы для авиации и космонавтики, обеспечивая лидерство России в высоких технологиях.