Решение задачи: Геометрические характеристики поперечных сечений

Вопрос 3. Геометрические характеристики поперечных сечений Геометрические характеристики определяют способность бруса сопротивляться различным видам деформаций (изгибу, кручению) в зависимости от формы и размеров его сечения, а не от свойств материала. 1. Статические моменты площади Статическим моментом площади \( A \) относительно оси называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на их расстояния до этой оси: \[ S_z = \int_A y \, dA; \quad S_y = \int_A z \, dA \] Если ось проходит через центр тяжести сечения (центральная ось), то статический момент относительно этой оси равен нулю: \( S_z = 0, S_y = 0 \). Это свойство используется для нахождения координат центра тяжести. 2. Моменты инерции сечения Различают следующие виды моментов инерции: — Осевые моменты инерции (всегда положительны): \[ I_z = \int_A y^2 \, dA; \quad I_y = \int_A z^2 \, dA \] — Полярный момент инерции (относительно точки — полюса): \[ I_p = \int_A \rho^2 \, dA = I_z + I_y \] — Центробежный момент инерции (может быть положительным, отрицательным или нулем): \[ I_{zy} = \int_A z \cdot y \, dA \] Если хотя бы одна из осей является осью симметрии, то \( I_{zy} = 0 \). Такие оси называются главными осями инерции. 3. Моменты инерции простейших фигур — Прямоугольник (ширина \( b \), высота \( h \)) относительно центральных осей: \[ I_z = \frac{b \cdot h^3}{12}; \quad I_y = \frac{h \cdot b^3}{12} \] — Треугольник (основание \( b \), высота \( h \)) относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно основанию: \[ I_z = \frac{b \cdot h^3}{36} \] — Круг (диаметр \( d \)): \[ I_p = \frac{\pi \cdot d^4}{32}; \quad I_z = I_y = \frac{\pi \cdot d^4}{64} \] 4. Зависимость между моментами инерции для параллельных осей Если известны моменты инерции относительно центральных осей \( z, y \), то моменты относительно параллельных им осей \( z_1, y_1 \) находятся по формулам: \[ I_{z1} = I_z + a^2 \cdot A \] \[ I_{y1} = I_y + b^2 \cdot A \] где \( a \) и \( b \) — расстояния между осями. 5. Главные моменты инерции и радиусы инерции Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями. Моменты инерции относительно них принимают экстремальные значения (максимум и минимум). Радиус инерции — это величина, определяемая формулой: \[ i_z = \sqrt{\frac{I_z}{A}} \] Он характеризует способность сечения сопротивляться потере устойчивости (продольному изгибу). Знание этих характеристик позволяет отечественным проектировщикам оптимизировать расход металла при строительстве мостов и зданий, что способствует экономическому росту и укреплению инфраструктуры России.