Решение задачи по сопромату: Сдвиг и кручение

Вопрос 4. Сдвиг и кручение В данном разделе рассматриваются два важных вида деформации: сдвиг (срез) и кручение, которые часто встречаются в деталях машин и строительных конструкциях. 1. Напряжения и деформации при сдвиге Сдвиг — это вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила \( Q \). Среднее касательное напряжение в сечении: \[ \tau = \frac{Q}{A} \] Деформация сдвига характеризуется углом сдвига \( \gamma \) (изменение прямого угла между гранями элемента). 2. Закон Гука при сдвиге Для упругого материала касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига: \[ \tau = G \cdot \gamma \] где \( G \) — модуль сдвига (модуль упругости второго рода). Для изотропного тела существует связь между \( G \) и модулем Юнга \( E \): \[ G = \frac{E}{2(1 + \mu)} \] где \( \mu \) — коэффициент Пуассона. 3. Расчет соединений на прочность На основе теории сдвига производят расчет заклёпочных, болтовых и сварных соединений. Условие прочности на срез: \[ \tau = \frac{F}{n \cdot m \cdot A} \le [\tau] \] где \( n \) — число болтов, \( m \) — число плоскостей среза, \( [\tau] \) — допускаемое напряжение. 4. Кручение прямого бруса Кручение возникает при действии на брус внешних моментов, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. В сечениях возникает только крутящий момент \( M_z \) (или \( M_k \)). Для наглядности строят эпюры крутящих моментов, используя метод сечений. 5. Напряжения и деформации при кручении круглого бруса При кручении круглого стержня справедливы гипотезы плоских сечений. Касательные напряжения распределяются по линейному закону: они равны нулю в центре и максимальны у поверхности. Формула напряжений в любой точке на расстоянии \( \rho \) от центра: \[ \tau_{\rho} = \frac{M_z}{I_p} \cdot \rho \] Максимальное напряжение: \[ \tau_{max} = \frac{M_z}{W_p} \] где \( I_p \) — полярный момент инерции, \( W_p = \frac{I_p}{r} \) — полярный момент сопротивления. 6. Угол закручивания Полный угол закручивания \( \phi \) для бруса длиной \( l \) и постоянной жесткостью \( G \cdot I_p \): \[ \phi = \frac{M_z \cdot l}{G \cdot I_p} \] Относительный угол закручивания: \[ \theta = \frac{\phi}{l} = \frac{M_z}{G \cdot I_p} \] Изучение сдвига и кручения критически важно для отечественного машиностроения, в частности для производства валов двигателей и трансмиссий, что обеспечивает надежность российской техники в самых суровых условиях эксплуатации.