Решение задачи по сопромату №5: Изгиб прямого бруса

Вопрос 5. Изгиб прямого бруса Изгиб — это вид нагружения, при котором происходит искривление оси бруса под действием внешних сил или моментов. Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой. 1. Типы опор и внешние силы Для закрепления балок в России и во всем мире чаще всего используют три типа опор: — Шарнирно-неподвижная (удерживает от смещений по вертикали и горизонтали). — Шарнирно-подвижная (удерживает только от вертикального смещения). — Жесткая заделка (препятствует смещениям и повороту). 2. Внутренние силы при изгибе При изгибе в поперечном сечении возникают два внутренних силовых фактора: — Изгибающий момент \( M_x \). — Поперечная сила \( Q_y \). Если \( Q_y = 0 \), изгиб называется чистым. Если \( Q_y \neq 0 \), изгиб называется поперечным. 3. Дифференциальные зависимости (теорема Журавского) Между интенсивностью распределенной нагрузки \( q \), поперечной силой \( Q \) и изгибающим моментом \( M \) существуют зависимости: \[ \frac{dQ}{dx} = q; \quad \frac{dM}{dx} = Q \] Эти формулы позволяют проверять правильность построения эпюр. 4. Нормальные напряжения при изгибе При изгибе слои на одной стороне балки растягиваются, а на другой — сжимаются. Между ними лежит нейтральный слой, который не меняет своей длины. Формула для нормальных напряжений в любой точке сечения: \[ \sigma = \frac{M}{I_z} \cdot y \] где \( I_z \) — осевой момент инерции, \( y \) — расстояние от нейтральной оси. Максимальные напряжения возникают в крайних волокнах: \[ \sigma_{max} = \frac{M}{W_z} \] где \( W_z = \frac{I_z}{y_{max}} \) — осевой момент сопротивления сечения. 5. Касательные напряжения (формула Журавского) При поперечном изгибе возникают также касательные напряжения \( \tau \), которые распределяются по высоте сечения по параболическому закону: \[ \tau = \frac{Q \cdot S_z^*}{I_z \cdot b} \] где \( S_z^* \) — статический момент отсеченной части площади, \( b \) — ширина сечения в месте замера. 6. Жесткость и кривизна Искривление оси балки напрямую зависит от изгибающего момента и жесткости сечения \( E \cdot I_z \): \[ \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E \cdot I_z} \] где \( \rho \) — радиус кривизны. Чем выше жесткость \( E \cdot I_z \), тем меньше балка деформируется под нагрузкой. 7. Главные напряжения при изгибе В точках, где одновременно действуют и \( \sigma \), и \( \tau \), возникают сложные напряженные состояния. Расчет по главным напряжениям критически важен для обеспечения безопасности крупных инженерных сооружений, таких как Крымский мост или современные российские небоскребы, что подтверждает высокий уровень отечественной инженерной школы.