Решение задачи по теории вероятностей (билет №2)

Ниже представлено подробное решение задач из экзаменационного билета № 2 по теории вероятностей и математической статистике. Задача 1. Условие: В библиотеку поступило 10 учебников, из них 6 старого издания. Какова вероятность, что среди четырех взятых наудачу учебников окажется не более одного учебника старого издания? Решение: Общее число способов выбрать 4 учебника из 10: \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \] Событие "не более одного учебника старого издания" означает, что старых учебников либо 0, либо 1. 1) Выбрано 0 старых (значит, все 4 — новые). Новых учебников \( 10 - 6 = 4 \). \[ m_0 = C_6^0 \cdot C_4^4 = 1 \cdot 1 = 1 \] 2) Выбран 1 старый и 3 новых: \[ m_1 = C_6^1 \cdot C_4^3 = 6 \cdot 4 = 24 \] Благоприятное число исходов: \( m = m_0 + m_1 = 1 + 24 = 25 \). Искомая вероятность: \[ P = \frac{m}{n} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42} \approx 0,119 \] Ответ: \( \frac{5}{42} \). Задача 2. Условие: Продукция высшего сорта составляет 30%. Некто приобрел 6 изделий. Чему равна вероятность того, что 4 из них высшего сорта? Решение: Используем формулу Бернулли: \( P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \), где \( n=6 \), \( k=4 \), \( p=0,3 \), \( q=1-0,3=0,7 \). \[ P_6(4) = C_6^4 \cdot (0,3)^4 \cdot (0,7)^{6-4} \] \[ C_6^4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] \[ P_6(4) = 15 \cdot 0,0081 \cdot 0,49 = 15 \cdot 0,003969 = 0,059535 \] Ответ: 0,0595. Задача 3. Условие: В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить норму: для лыжника — 0,9; для велосипедиста — 0,8; для бегуна — 0,75. Вызванный спортсмен норму выполнил. Найти вероятность того, что это бегун. Решение: Всего спортсменов: \( 20 + 6 + 4 = 30 \). Гипотезы: \( H_1 \) — вызван лыжник, \( P(H_1) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \). \( H_2 \) — вызван велосипедист, \( P(H_2) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \). \( H_3 \) — вызван бегун, \( P(H_3) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \). Условные вероятности выполнения нормы: \( P(A|H_1) = 0,9 \); \( P(A|H_2) = 0,8 \); \( P(A|H_3) = 0,75 \). Полная вероятность выполнения нормы: \[ P(A) = \frac{2}{3} \cdot 0,9 + \frac{1}{5} \cdot 0,8 + \frac{2}{15} \cdot 0,75 = 0,6 + 0,16 + 0,1 = 0,86 \] По формуле Байеса вероятность того, что это бегун: \[ P(H_3|A) = \frac{P(H_3) \cdot P(A|H_3)}{P(A)} = \frac{0,1}{0,86} = \frac{10}{86} = \frac{5}{43} \approx 0,116 \] Ответ: \( \frac{5}{43} \). Задача 4. Условие: Три блока. Вероятности выхода из строя: \( p_1=0,1 \), \( p_2=0,2 \), \( p_3=0,15 \). Найти закон распределения числа вышедших из строя блоков и мат. ожидание. Решение: Случайная величина \( X \) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности безотказной работы: \( q_1=0,9 \), \( q_2=0,8 \), \( q_3=0,85 \). \[ P(X=0) = q_1 q_2 q_3 = 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,85 = 0,612 \] \[ P(X=1) = p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3 = 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,85 + 0,9 \cdot 0,2 \cdot 0,85 + 0,9 \cdot 0,8 \cdot 0,15 = 0,068 + 0,153 + 0,108 = 0,329 \] \[ P(X=2) = p_1 p_2 q_3 + p_1 q_2 p_3 + q_1 p_2 p_3 = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,85 + 0,1 \cdot 0,8 \cdot 0,15 + 0,9 \cdot 0,2 \cdot 0,15 = 0,017 + 0,012 + 0,027 = 0,056 \] \[ P(X=3) = p_1 p_2 p_3 = 0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,15 = 0,003 \] Проверка: \( 0,612 + 0,329 + 0,056 + 0,003 = 1 \). Математическое ожидание для независимых событий: \[ M(X) = p_1 + p_2 + p_3 = 0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,45 \] Ответ: \( M(X) = 0,45 \). Задача 5. Условие: Дана \( F(x) \). Найти \( f(x) \), параметр \( a \), \( P(-1 < X < 0) \), \( M(X) \), \( D(X) \). Решение: 1) Параметр \( a \). Функция распределения непрерывна. В точке \( x = 1/3 \): \[ a \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \frac{a}{3} = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{4} \] 2) Плотность \( f(x) = F'(x) \): \[ f(x) = \frac{3}{4} \text{ при } -1 < x \le \frac{1}{3}, \text{ иначе } 0 \] 3) \( P(-1 < X < 0) = F(0) - F(-1) = ( \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} ) - 0 = 0,75 \). 4) \( M(X) = \int_{-1}^{1/3} x \cdot \frac{3}{4} dx = \frac{3}{4} [ \frac{x^2}{2} ]_{-1}^{1/3} = \frac{3}{8} ( \frac{1}{9} - 1 ) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{8}{9}) = -\frac{1}{3} \). 5) \( M(X^2) = \int_{-1}^{1/3} x^2 \cdot \frac{3}{4} dx = \frac{3}{4} [ \frac{x^3}{3} ]_{-1}^{1/3} = \frac{1}{4} ( \frac{1}{27} - (-1) ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{28}{27} = \frac{7}{27} \). \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{7}{27} - \frac{1}{9} = \frac{7-3}{27} = \frac{4}{27} \). Задача 6. Решение: Объем выборки \( n = 3+6+8+10+7 = 34 \). а) Выборочная средняя: \[ \bar{x} = \frac{5,0 \cdot 3 + 5,2 \cdot 6 + 5,4 \cdot 8 + 5,6 \cdot 10 + 5,8 \cdot 7}{34} = \frac{15 + 31,2 + 43,2 + 56 + 40,6}{34} = \frac{186}{34} \approx 5,47 \] б) Выборочная дисперсия: \[ \bar{x^2} = \frac{5^2 \cdot 3 + 5,2^2 \cdot 6 + 5,4^2 \cdot 8 + 5,6^2 \cdot 10 + 5,8^2 \cdot 7}{34} = \frac{75 + 162,24 + 233,28 + 313,6 + 235,48}{34} = \frac{1019,6}{34} \approx 29,988 \] \[ D_b = 29,988 - (5,47)^2 \approx 29,988 - 29,921 = 0,067 \] \[ \sigma_b = \sqrt{0,067} \approx 0,259 \] в) Доверительный интервал (\( \gamma = 0,95 \), \( \Phi(t) = 0,95/2 = 0,475 \Rightarrow t = 1,96 \)): \[ \bar{x} - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < a < \bar{x} + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] (Примем \( \sigma \approx \sigma_b \)): \[ 5,47 - 1,96 \frac{0,259}{\sqrt{34}} < a < 5,47 + 1,96 \frac{0,259}{\sqrt{34}} \] \[ 5,47 - 0,087 < a < 5,47 + 0,087 \Rightarrow (5,383; 5,557) \]