Решение задачи: Вероятность выбора окрашенных изделий

Экзаменационный билет № 1 Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика Задача 1. В коробке 7 изделий, 4 из них окрашены. Извлечены 3 изделия. Найти вероятность того, что хотя бы два окажутся окрашенными. Решение: Событие А — среди 3-х извлеченных изделий хотя бы два окрашены. Это значит, что окрашенных изделий может быть либо 2, либо 3. Общее число способов выбрать 3 изделия из 7: \[ C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \] Число способов выбрать 2 окрашенных (из 4) и 1 неокрашенное (из 3): \[ C_4^2 \cdot C_3^1 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \] Число способов выбрать 3 окрашенных (из 4) и 0 неокрашенных: \[ C_4^3 \cdot C_3^0 = 4 \cdot 1 = 4 \] Искомая вероятность: \[ P(A) = \frac{18 + 4}{35} = \frac{22}{35} \approx 0,6286 \] Ответ: 22/35. Задача 2. Станок работает в двух режимах. Режим №1 — 80% времени, Режим №2 — 20%. Вероятность выхода из строя в режиме №1 равна 0,1, в режиме №2 — 0,7. Найти вероятность выхода из строя. Решение: Используем формулу полной вероятности. Пусть \( H_1 \) — станок работает в режиме №1, \( H_2 \) — в режиме №2. \[ P(H_1) = 0,8; \quad P(H_2) = 0,2 \] Пусть событие А — станок вышел из строя. Условные вероятности: \[ P(A|H_1) = 0,1; \quad P(A|H_2) = 0,7 \] Полная вероятность: \[ P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) \] \[ P(A) = 0,8 \cdot 0,1 + 0,2 \cdot 0,7 = 0,08 + 0,14 = 0,22 \] Ответ: 0,22. Задача 3. Охотник выстрелил 3 раза. Вероятность попадания в начале 0,8, после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадет два раза. Решение: Вероятности попадания при 1-м, 2-м и 3-м выстрелах: \[ p_1 = 0,8; \quad p_2 = 0,7; \quad p_3 = 0,6 \] Вероятности промаха: \[ q_1 = 0,2; \quad q_2 = 0,3; \quad q_3 = 0,4 \] Событие "попал ровно два раза" может произойти тремя способами: 1) Попал, попал, промахнулся: \( p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0,8 \cdot 0,7 \cdot 0,4 = 0,224 \) 2) Попал, промахнулся, попал: \( p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0,8 \cdot 0,3 \cdot 0,6 = 0,144 \) 3) Промахнулся, попал, попал: \( q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,2 \cdot 0,7 \cdot 0,6 = 0,084 \) Итоговая вероятность: \[ P = 0,224 + 0,144 + 0,084 = 0,452 \] Ответ: 0,452. Задача 4. Вероятность выигрыша 0,2. Куплено 3 билета. Найти закон распределения и мат. ожидание числа выигрышных билетов. Решение: Случайная величина X — число выигрышных билетов. X принимает значения 0, 1, 2, 3. Используем формулу Бернулли \( P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \), где \( n=3, p=0,2, q=0,8 \). \[ P(X=0) = C_3^0 \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,512 = 0,512 \] \[ P(X=1) = C_3^1 \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384 \] \[ P(X=2) = C_3^2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^1 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096 \] \[ P(X=3) = C_3^3 \cdot 0,2^3 \cdot 0,8^0 = 1 \cdot 0,008 \cdot 1 = 0,008 \] Закон распределения: X: 0; 1; 2; 3 P: 0,512; 0,384; 0,096; 0,008 Математическое ожидание для биномиального распределения: \[ M(X) = n \cdot p = 3 \cdot 0,2 = 0,6 \] Ответ: M(X) = 0,6. Задача 5. Дана функция распределения \( F(x) \). Найти \( a \), плотность \( f(x) \), вероятность попадания в (1, 3), \( M(X) \) и \( D(X) \). \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 2 \\ ax - 1, & 2 < x \le 4 \\ 1, & x > 4 \end{cases} \] Решение: 1) Находим \( a \) из условия непрерывности в точке \( x=4 \): \[ a \cdot 4 - 1 = 1 \Rightarrow 4a = 2 \Rightarrow a = 0,5 \] 2) Плотность распределения \( f(x) = F'(x) \): \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le 2 \\ 0,5, & 2 < x \le 4 \\ 0, & x > 4 \end{cases} \] 3) Вероятность \( P(1 < X < 3) \): \[ P(1 < X < 3) = F(3) - F(1) = (0,5 \cdot 3 - 1) - 0 = 1,5 - 1 = 0,5 \] 4) Математическое ожидание: \[ M(X) = \int_{2}^{4} x \cdot 0,5 dx = 0,5 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^4 = 0,5 \cdot (8 - 2) = 3 \] 5) Дисперсия: \[ M(X^2) = \int_{2}^{4} x^2 \cdot 0,5 dx = 0,5 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^4 = \frac{0,5}{3} \cdot (64 - 8) = \frac{28}{3} \approx 9,33 \] \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = \frac{28}{3} - 3^2 = \frac{28}{3} - 9 = \frac{1}{3} \approx 0,33 \] Задача 6. По данным выборки найти: а) выборочную среднюю; б) выборочное СКО; в) доверительный интервал для \( a \) при \( \gamma = 0,95 \). Решение: Объем выборки \( n = 5 + 15 + 40 + 25 + 8 = 93 \). а) Выборочная средняя: \[ \bar{x}_B = \frac{12,4 \cdot 5 + 16,4 \cdot 15 + 20,4 \cdot 40 + 24,4 \cdot 25 + 28,4 \cdot 8}{93} = \frac{62 + 246 + 816 + 610 + 227,2}{93} = \frac{1961,2}{93} \approx 21,09 \] б) Выборочная дисперсия: \[ D_B = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x}_B)^2 \approx \frac{42894}{93} - 21,09^2 \approx 461,23 - 444,79 = 16,44 \] Выборочное СКО: \( \sigma_B = \sqrt{16,44} \approx 4,05 \). в) Доверительный интервал. При \( \gamma = 0,95 \), \( \Phi(t) = 0,95/2 = 0,475 \), по таблице \( t = 1,96 \). \[ \bar{x}_B - t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < a < \bar{x}_B + t \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Примем \( \sigma \approx \sigma_B \): \[ 21,09 - 1,96 \frac{4,05}{\sqrt{93}} < a < 21,09 + 1,96 \frac{4,05}{\sqrt{93}} \] \[ 21,09 - 0,82 < a < 21,09 + 0,82 \Rightarrow 20,27 < a < 21,91 \]