Решение: Решить подробно

Задача №696. Дано: Последовательность \( (a_n) \) задана рекуррентно: \( a_1 = 3 \), \( a_2 = 5 \), \( a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n \). Доказать, что: \( a_n = 2^n + 1 \). Доказательство: Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. 1. База индукции. Проверим формулу для \( n = 1 \) и \( n = 2 \): При \( n = 1 \): \( a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3 \). (Верно) При \( n = 2 \): \( a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \). (Верно) 2. Индукционное предположение. Предположим, что формула верна для всех номеров до \( k+1 \) включительно, то есть: \( a_k = 2^k + 1 \) \( a_{k+1} = 2^{k+1} + 1 \) 3. Шаг индукции. Докажем, что формула будет верна для \( n = k+2 \). Используя рекуррентное соотношение из условия задачи, подставим в него наши предположения: \[ a_{k+2} = 3a_{k+1} - 2a_k \] \[ a_{k+2} = 3(2^{k+1} + 1) - 2(2^k + 1) \] Раскроем скобки: \[ a_{k+2} = 3 \cdot 2^{k+1} + 3 - 2 \cdot 2^k - 2 \] Преобразуем слагаемые со степенями двойки. Заметим, что \( 2 \cdot 2^k = 2^{k+1} \): \[ a_{k+2} = 3 \cdot 2^{k+1} - 2^{k+1} + 3 - 2 \] Вынесем \( 2^{k+1} \) за скобки: \[ a_{k+2} = 2^{k+1}(3 - 1) + 1 \] \[ a_{k+2} = 2^{k+1} \cdot 2 + 1 \] \[ a_{k+2} = 2^{k+2} + 1 \] Мы получили формулу \( a_n = 2^n + 1 \) для случая \( n = k+2 \). Вывод: Так как база индукции верна и шаг индукции доказан, то формула \( a_n = 2^n + 1 \) верна для любого натурального \( n \). Что и требовалось доказать.