Решение задачи 1194(в): Длина вписанной окружности

Задача №1194 (в) Дано: Прямоугольный треугольник. Гипотенуза: \( c \). Острый угол: \( \alpha \). Найти: Длину вписанной окружности \( L \). Решение: 1. Вспомним формулу длины окружности: \[ L = 2\pi r \] где \( r \) — радиус вписанной окружности. 2. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. 3. Выразим катеты \( a \) и \( b \) через гипотенузу \( c \) и острый угол \( \alpha \): \[ a = c \cdot \sin \alpha \] \[ b = c \cdot \cos \alpha \] 4. Подставим выражения для катетов в формулу радиуса: \[ r = \frac{c \cdot \sin \alpha + c \cdot \cos \alpha - c}{2} \] Вынесем \( c \) за скобки: \[ r = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} \] 5. Теперь найдем длину окружности \( L \), подставив полученный радиус в формулу из шага 1: \[ L = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} \] Сократим на 2: \[ L = \pi c (\sin \alpha + \cos \alpha - 1) \] Ответ: \( L = \pi c (\sin \alpha + \cos \alpha - 1) \).