Решение задачи 1194 (г) - Длина вписанной окружности

Задача №1194 (г) Дано: Равнобедренный треугольник. Угол при основании: \( \alpha \). Высота, проведённая к основанию: \( h \). Найти: Длину вписанной окружности \( L \). Решение: 1. Длина окружности вычисляется по формуле: \[ L = 2\pi r \] где \( r \) — радиус вписанной окружности. 2. Рассмотрим равнобедренный треугольник. Высота \( h \), проведённая к основанию, является также биссектрисой и медианой. Центр вписанной окружности лежит на этой высоте. 3. Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной. Однако удобнее воспользоваться свойством биссектрисы: центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \) и половиной основания. В нем угол при основании равен \( \alpha \). Биссектриса этого угла делит высоту \( h \) на отрезки, один из которых (от основания до центра окружности) и есть радиус \( r \). 5. По свойству тангенса в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом \( r \) и половиной основания \( \frac{b}{2} \): \[ \frac{b}{2} = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} \] Отсюда \( r = \frac{b}{2} \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) \). 6. Из основного прямоугольного треугольника (с катетами \( h \) и \( \frac{b}{2} \)): \[ \frac{b}{2} = \frac{h}{\tan \alpha} \] 7. Подставим выражение для \( \frac{b}{2} \) в формулу для \( r \): \[ r = \frac{h \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan \alpha} \] 8. Используем формулу двойного аргумента для тангенса \( \tan \alpha = \frac{2 \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})} \): \[ r = \frac{h \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) \cdot (1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2}))}{2 \tan(\frac{\alpha}{2})} \] \[ r = \frac{h(1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2}))}{2} \] 9. Находим длину окружности \( L \): \[ L = 2\pi \cdot \frac{h(1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2}))}{2} \] \[ L = \pi h (1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}) \] Ответ: \( L = \pi h (1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}) \).