Решение: Решить подробно Реши задачу: Подробно

Задача №697. Дано: Последовательность \( (a_n) \) задана рекуррентно: \( a_1 = 2 \), \( 3a_{n+1} = 3a_n + 1 \). Доказать, что: \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \). Примечание: В условии задачи в рекуррентном соотношении, вероятно, допущена опечатка в записи \( 3a_{n+1} = 3a_n + 1 \), так как при такой записи последовательность является арифметической прогрессией, что не согласуется с доказываемой формулой. Исходя из структуры доказываемой формулы \( a_n = 2,5 \cdot 3^{n-1} - 0,5 \), рекуррентное соотношение должно иметь вид: \( a_{n+1} = 3a_n + 1 \). Докажем формулу именно для этого случая методом математической индукции. Доказательство: 1. База индукции. Проверим формулу для \( n = 1 \): \[ a_1 = 2,5 \cdot 3^{1-1} - 0,5 = 2,5 \cdot 3^0 - 0,5 = 2,5 \cdot 1 - 0,5 = 2 \] Условие \( a_1 = 2 \) выполняется. База индукции верна. 2. Индукционное предположение. Предположим, что для некоторого \( n = k \) формула верна: \( a_k = 2,5 \cdot 3^{k-1} - 0,5 \). 3. Шаг индукции. Докажем, что формула верна для \( n = k+1 \), то есть: \( a_{k+1} = 2,5 \cdot 3^k - 0,5 \). Используем рекуррентное соотношение \( a_{k+1} = 3a_k + 1 \) и подставим в него наше предположение: \[ a_{k+1} = 3 \cdot (2,5 \cdot 3^{k-1} - 0,5) + 1 \] Раскроем скобки: \[ a_{k+1} = 3 \cdot 2,5 \cdot 3^{k-1} - 3 \cdot 0,5 + 1 \] Применим свойство степеней \( 3 \cdot 3^{k-1} = 3^k \): \[ a_{k+1} = 2,5 \cdot 3^k - 1,5 + 1 \] Произведем вычитание: \[ a_{k+1} = 2,5 \cdot 3^k - 0,5 \] Мы получили выражение, полностью совпадающее с доказываемой формулой для номера \( k+1 \). Вывод: На основании метода математической индукции утверждение верно для любого натурального \( n \). Что и требовалось доказать.