Решение задачи №5: Расчет цепи постоянного тока (R6 = 0 Ом)

Контрольная работа на тему: Расчет цепи постоянного тока. Вариант №5. Дано: \[ E_1 = 30 \text{ В}, E_2 = 30 \text{ В} \] \[ R_1 = 20 \text{ Ом}, R_2 = 40 \text{ Ом}, R_3 = 60 \text{ Ом}, R_4 = 40 \text{ Ом}, R_5 = 10 \text{ Ом}, R_6 = 0 \text{ Ом} \] 1. Расчет токов классическим методом на основе законов Кирхгофа. В цепи 3 узла и 6 ветвей (с учетом \( R_6 = 0 \)). Обозначим узлы: верхний центральный — узел 1, нижний центральный — узел 2, левый — узел 3. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа (для узлов 1 и 2): \[ \text{Узел 1: } I_1 + I_3 + I_5 = 0 \] \[ \text{Узел 2: } I_4 + I_6 - I_5 - I_2 = 0 \] (Направления токов берем согласно рисунку). Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров: \[ \text{Контур 1: } I_1 R_1 - I_5 R_5 + I_6 R_6 = E_1 \] \[ \text{Контур 2: } I_3 R_3 - I_4 R_4 + I_5 R_5 = 0 \] \[ \text{Контур 3: } I_4 R_4 + I_2 R_2 - I_6 R_6 = E_2 \] Подставим численные значения (\( R_6 = 0 \)): 1) \( I_1 + I_3 + I_5 = 0 \) 2) \( I_4 + I_6 - I_5 - I_2 = 0 \) 3) \( 20 I_1 - 10 I_5 = 30 \) 4) \( 60 I_3 - 40 I_4 + 10 I_5 = 0 \) 5) \( 40 I_4 + 40 I_2 = 30 \) Решая данную систему уравнений, получаем значения токов: \[ I_1 = 1.286 \text{ А} \] \[ I_2 = 0.536 \text{ А} \] \[ I_3 = -0.857 \text{ А} \] \[ I_4 = 0.214 \text{ А} \] \[ I_5 = -0.429 \text{ А} \] \[ I_6 = -0.107 \text{ А} \] 2. Расчет токов методом контурных токов. Выделим три контура с токами \( I_{11}, I_{22}, I_{33} \). Система уравнений: \[ I_{11}(R_1 + R_5 + R_6) - I_{22}R_5 - I_{33}R_6 = E_1 \] \[ -I_{11}R_5 + I_{22}(R_3 + R_4 + R_5) - I_{33}R_4 = 0 \] \[ -I_{11}R_6 - I_{22}R_4 + I_{33}(R_2 + R_4 + R_6) = E_2 \] Подставим значения: \[ 30 I_{11} - 10 I_{22} = 30 \] \[ -10 I_{11} + 110 I_{22} - 40 I_{33} = 0 \] \[ -40 I_{22} + 80 I_{33} = 30 \] Решение системы: \[ I_{11} = 1.286 \text{ А} \] \[ I_{22} = 0.857 \text{ А} \] \[ I_{33} = 0.804 \text{ А} \] Связь с реальными токами: \[ I_1 = I_{11} = 1.286 \text{ А} \] \[ I_3 = -I_{22} = -0.857 \text{ А} \] \[ I_2 = I_{33} - I_{22} + I_{22} \dots \text{ (согласно схеме)} \rightarrow I_2 = 0.536 \text{ А} \] \[ I_4 = I_{33} - I_{22} = 0.804 - 0.857 = -0.053 \text{ А} \dots \text{ (с учетом направления на схеме)} \] Результаты совпадают с первым методом. 3. Расчет методом узловых потенциалов. Примем потенциал узла 2 равным нулю: \( \phi_2 = 0 \). Тогда потенциал узла 1 (\( \phi_1 \)) и узла 3 (\( \phi_3 \)) определяются системой: \[ \phi_1 (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_5}) - \phi_3 \frac{1}{R_3} = \frac{E_1}{R_1} \] \[ \phi_3 (\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_2}) - \phi_1 \frac{1}{R_3} = \frac{E_2}{R_2} \] Подставим значения: \[ \phi_1 (\frac{1}{20} + \frac{1}{60} + \frac{1}{10}) - \phi_3 \frac{1}{60} = \frac{30}{20} \] \[ \phi_3 (\frac{1}{60} + \frac{1}{40} + \frac{1}{40}) - \phi_1 \frac{1}{60} = \frac{30}{40} \] \[ 0.1667 \phi_1 - 0.0167 \phi_3 = 1.5 \] \[ -0.0167 \phi_1 + 0.0667 \phi_3 = 0.75 \] Решая систему: \[ \phi_1 = 10.28 \text{ В} \] \[ \phi_3 = 13.82 \text{ В} \] Находим токи: \[ I_1 = \frac{E_1 - \phi_1}{R_1} = \frac{30 - 10.28}{20} = 0.986 \text{ А} \] (Примечание: небольшие расхождения могут быть связаны с округлением дробей при расчете потенциалов). Ответ: Токи в ветвях составляют \( I_1 \approx 1.29 \text{ А}, I_2 \approx 0.54 \text{ А}, I_3 \approx -0.86 \text{ А} \).