Решение задач 2, 4 и 5

Ниже представлено подробное решение задач 2, 4 и 5 из Варианта 1. Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в школьную тетрадь. Задача 2. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите длину вектора \(7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\). Решение: 1) Определим координаты векторов по клеткам (вычитаем из координат конца координаты начала): \(\vec{a} = (6-2; 4-8) = (4; -4)\) \(\vec{b} = (4-2; 2-6) = (2; -4)\) \(\vec{c} = (1-(-1); 4-2) = (2; 2)\) 2) Найдем координаты вектора \(\vec{d} = 7\vec{a} - 3\vec{b} + 4\vec{c}\): \[x_d = 7 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 28 - 6 + 8 = 30\] \[y_d = 7 \cdot (-4) - 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 2 = -28 + 12 + 8 = -8\] Получаем вектор \(\vec{d}(30; -8)\). 3) Найдем длину вектора \(\vec{d}\): \[|\vec{d}| = \sqrt{x_d^2 + y_d^2} = \sqrt{30^2 + (-8)^2} = \sqrt{900 + 64} = \sqrt{964} = \sqrt{4 \cdot 241} = 2\sqrt{241}\] Ответ: \(2\sqrt{241}\). Задача 4. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите значение выражения \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c}\). Решение: 1) Определим координаты векторов: \(\vec{a} = (8-6; 6-3) = (2; 3)\) \(\vec{b} = (8-4; 1-4) = (4; -3)\) \(\vec{c} = (4-1; 2-3) = (3; -1)\) 2) Найдем координаты вектора \(\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}\): \[\vec{m} = (2 - 4; 3 - (-3)) = (-2; 6)\] 3) Вычислим скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{c}\): \[\vec{m} \cdot \vec{c} = x_m \cdot x_c + y_m \cdot y_c = (-2) \cdot 3 + 6 \cdot (-1) = -6 - 6 = -12\] Ответ: -12. Задача 5. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите \(\cos \alpha\), где \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Решение: 1) Определим координаты векторов: \(\vec{a} = (4-1; 3-4) = (3; -1)\) \(\vec{b} = (5-3; 6-1) = (2; 5)\) 2) Используем формулу косинуса угла между векторами: \[\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] Вычислим скалярное произведение: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 5 = 6 - 5 = 1\] Вычислим длины векторов: \[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}\] 3) Подставим значения в формулу: \[\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}\] Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{290}}\).