Решение неравенств со степенями

Ниже представлено пошаговое решение математических задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1 (Неравенство) \[ 16^{x-2} \cdot 2^{3x+4} \le 32^{x-1} \] Приведем все степени к основанию 2: \[ (2^4)^{x-2} \cdot 2^{3x+4} \le (2^5)^{x-1} \] \[ 2^{4x-8} \cdot 2^{3x+4} \le 2^{5x-5} \] При умножении степеней показатели складываются: \[ 2^{4x-8+3x+4} \le 2^{5x-5} \] \[ 2^{7x-4} \le 2^{5x-5} \] Так как основание \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ 7x - 4 \le 5x - 5 \] \[ 7x - 5x \le -5 + 4 \] \[ 2x \le -1 \] \[ x \le -0,5 \] Ответ: \( x \in (-\infty; -0,5] \) Задание 2 (Неравенство) \[ 216^{x-2} \cdot 36^{2x+1} > 6^{4x-1} \] Приведем все степени к основанию 6: \[ (6^3)^{x-2} \cdot (6^2)^{2x+1} > 6^{4x-1} \] \[ 6^{3x-6} \cdot 6^{4x+2} > 6^{4x-1} \] \[ 6^{3x-6+4x+2} > 6^{4x-1} \] \[ 6^{7x-4} > 6^{4x-1} \] Так как основание \( 6 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \[ 7x - 4 > 4x - 1 \] \[ 7x - 4x > -1 + 4 \] \[ 3x > 3 \] \[ x > 1 \] Ответ: \( x \in (1; +\infty) \) Задание 3 (Уравнение) \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} = 27^{x-2} \cdot 81^{3x+2} \] Приведем все степени к основанию 3: \[ (3^{-1})^{x-1} = (3^3)^{x-2} \cdot (3^4)^{3x+2} \] \[ 3^{-x+1} = 3^{3x-6} \cdot 3^{12x+8} \] \[ 3^{-x+1} = 3^{3x-6+12x+8} \] \[ 3^{-x+1} = 3^{15x+2} \] Приравниваем показатели степеней: \[ -x + 1 = 15x + 2 \] \[ -x - 15x = 2 - 1 \] \[ -16x = 1 \] \[ x = -\frac{1}{16} \] Ответ: \( x = -0,0625 \)